Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.

28 .   ∫ 0 1 e - x x d x                   ( c o m p a r e   c o m   1 x )

Passo 1

Primeiramente, vamos escrever aquele cara da integral da seguinte forma:

e - x x = 1 e x x

Beleza? Agora bora comparar com o 1 x .

Bom, a chave aqui é olha pros limites de integração na hora de comparar. Considerando 0 < x ≤ 1 , temos que

e x ≥ 1

Então:

e x x ≥ x

Logo:

0 < e - x x ≤ 1 x

E portanto:

∫ 0 1 e - x x d x ≤ ∫ 0 1 1 x d x

∫ 0 1 1 x d x = 2 x 0 1 = 2

∫ 0 1 e - x x d x ≤ ∫ 0 1 1 x d x = 2

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Resposta

28 . convergente, pois 0 < x ≤ 1 → 0 < e - x x ≤ 1 x → ∫ 0 1 e - x x d x ≤ ∫ 0 1 1 x d x = 2  

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