Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Nos exercícios 1 a 12 use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.

8)

∫ - ∞ ∞ e - x   d x

Passo 1

Cara, estamos calculando uma integral imprópria de - ∞ até o + ∞ e temos que ter certo cuidado com isso, pois a função tem que ser contínua em toda a reta. Se não for, temos que separar até onde é, saca?

Masss, para a nossa alegria, e - x é contínua para todo o x (pois não tem nenhum problema de definição, uma divisão por zero ou algo assim).

Agora note que temos um módulo ali e para fazer a análise temos eliminá-lo. Bem, sabemos que do 0 em diante, o valor do módulo é uma coisa, e do 0 pra trás é outra...

x = x                 s e             x ≥ 0 - x         s e             x < 0

Então, temos que dividir a integral em duas

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = ∫ - ∞ 0 e - - x   d x + ∫ 0 ∞ e - x   d x

Repare que essa igualde só é verdadeira pois essa função é continua em toda a reta, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a integral é fácil de calcular, pra testar, calculemos e testamos se converge ou não, saca? Vamos começar com a primeira:

∫ - ∞ 0 e - - x   d x = ∫ - ∞ 0 e x   d x

Troquemos esse - ∞ por um número - b e depois façamos esse b tender ao infinito, ou seja, um limite...

∫ - ∞ 0 e x   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ - b 0 e x   d x

Integral da exponencial... É a exponencial mesmo...

lim b → ∞ ⁡ ∫ - b 0 e x   d x = lim b → ∞ ⁡ e x - b 0 =

lim b → ∞ ⁡ e 0 - e b = lim b → ∞ ⁡ 1 - e - b =

lim b → ∞ ⁡ 1 - 1 e b

Quando b vai para o infinito, essa fração vai a 0 , logo...

∫ - ∞ 0 e - - x   d x = lim b → ∞ ⁡ 1 - 1 e b = 1

Passo 3

Calculemos agora a segunda integral imprópria

∫ 0 ∞ e - x   d x

De uma forma bem semelhante, troquemos o infinito por um a e jogamos esse a indo para o infinito:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x   d x =

lim a → ∞ ⁡ - e - x 0 a = lim a → ∞ ⁡ - e - a - - e 0 =

lim a → ∞ ⁡ - 1 e a - - 1 =

novamente a fração vai a 0 e o resultado é...

∫ 0 ∞ e - x   d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 e a - - 1 = 1

Passo 4

Como as duas integrais convergiram e já vimos que por serem contínuas é válida a expressão

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = ∫ - ∞ 0 e - - x   d x + ∫ 0 ∞ e - x   d x

Então a integral que queremos também converge e converge pra soma...

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = 1 + 1 = 2

Resposta

Integral convergente

2

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