10.3 Avalie a convergência da integral imprópria

∫ 4 ∞ x - 1 - 6 5 d x

Caso seja convergente, calcule seu valor.  

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos verificar se a integral ∫ 4 ∞ x - 1 - 6 5 d x é convergente ou divergente.

O primeiro passo é a gente substituir esse infinito por uma letra qualquer, tipo A :

∫ 4 ∞ x - 1 - 6 5 d x = ∫ 4 A x - 1 - 6 5 d x

Daí a gente resolver essa integral normalmente.

Depois de achar, calculamos o limite com A tendendo ao infinito:

lim A → ∞ ⁡ f ( A ) = …

Se der um número bonitinho, a integral é convergente, maaas se der infinito, a integral é divergente.

Passo 2

Resolvendo a integral ∫ 4 A x - 1 - 6 5 d x .

Como temos uma função composta, usaremos substituição simples:

u = x - 1 → d u = d x

Não esquece dos limites de integração, heim!?

x = 4 → u = 3

x = A → u = A - 1

A integral fica:

∫ 4 A x - 1 - 6 5 d x = ∫ 3 A - 1 u - 6 5 d u

= u - 6 5 + 1 - 6 5 + 1 3 A - 1

= u - 1 5 - 1 5 3 A - 1

= - 5 u 1 5 3 A - 1

= - 5 A - 1 1 5 + 5 3 1 5

Agora calculamos o limite:

lim A → ∞ ⁡ - 5 A - 1 1 5 + 5 3 1 5 = - 0 + 5 3 1 5

= 5 3 1 5

Portanto, é convergente.

Resposta

5 3 1 5

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