Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Calcule a seguinte integral imprópria:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Por definição, o valor da integral imprópria é igual ao limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando só a integral, depois tomamos o limite:

∫ 1 b ln ⁡ x x d x

Fazendo a substituição simples

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Corrigindo os limites de integração:

x = 1 → u = ln ⁡ 1 = 0

x = b → u = ln ⁡ b

Daí a integral fica:

∫ 0 ln ⁡ b u d u = u 2 2 0 ln ⁡ b = ln 2 ⁡ b 2

Passo 3

Agora sim, vamos calcular a integral imprópria, fazendo o limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x x d x = lim b → + ∞ ⁡ ln 2 ⁡ b 2 = + ∞

A integral diverge!

Resposta

A integral diverge:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x d x = + ∞

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