7. Integrais impróprias

b) ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x .

Repara que um dos limites é igual a infinito, então chamamos de integral imprópria.

Pra resolver essa integral, primeiro substituímos o infinito por uma letra qualquer e calculamos a integral normalmente.

Depois calculamos o limite dessa função que sobrou com a letra tendendo ao infinito.

Se o limite existir como um número finito, então dizemos que é convergente, maaas se encontramos ±   ∞ , chamamos de divergente.

Bora botar a mão na massa que fica mais fácil de enxergar...

Passo 2

Primeiro vamos trocar o infinito por a :

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x = ∫ 1 a ln ⁡ x x d x

Repara que em cima temos ln ⁡ x   e que a derivada disso é 1 x , então usaremos substituição simples pra resolver a integral.

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Como é uma integral definida, precisamos trocar também os limites de integração:

x = 1 → u = ln ⁡ 1 → u = 0

x = a → u = ln ⁡ a

A integral fica:

= ∫ 0 ln ⁡ a u d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

= u 2 2 0 ln ⁡ a

= ln ⁡ a 2 2

Calculando o limite:

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a 2 2 = + ∞

Portanto, a integral é divergente.

Resposta

+ ∞

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