Calcule ∫ C I m z 2 d z   de 0 a 2 + 4 i ao longo da parábola y = x 2 .

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza com vocês?

Nessa questão precisamos resolver uma integral de linha complexa, dada por:

∫ C I m z 2 d z

onde z varia de 0 a 2 + 4 i , e a integral de linha é ao longo da parábola y = x 2 .

Pra resolver essas integrais de linha complexas, podemos usar a seguinte relação:

∫ C ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ α β u ⋅ d x d t d t - ∫ α β v ⋅ d y d t d t + i ∫ α β u ⋅ d y d t d t + i ⋅ ∫ α β v ⋅ d x d t d t

Mas quem é t ,   α ,   β ?

Então, como trata-se de uma integral de linha a ideia é parametrizar a curva C , fazendo:

x = x ( t ) y = y ( t )

E, associamos os limites de integração de z para um valor de t = α e t = β .

Vem comigo que vai ficar mais claro!

Passo 2

Vamos começar parametrizando a nossa curva C .

Como trata-se da parábola y = x 2 , podemos parametrizá-la como:

x = t y = t 2

Assim, quando:

z = 0

∴ t = α = 0

Quando:

z = 2 + 4 i

∴ t = β = 2

Voltando para a nossa integral, queremos calcular:

∫ C I m z 2 d z

Pela nossa parametrização, e dado a curva C que estamos integrando, temos que:

z = t + i t 2

Assim:

z 2 = t + i t 2 2

= t 2 + 2 i t 3 + i 2 t 4

∴ z 2 = t 2 - t 4 + i ⋅ ( 2 t 3 )

Logo, temos que:

I m z 2 = 2 t 3

Além disso, pela parametrização que escolhemos, temos que:

d y d t = d t 2 d t

= 2 t

E, também:

d x d t = d t d t = 1

Assim, como vimos no passo 1 , a integral de linha complexa pode ser reescrita como:

∫ C ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ α β u ⋅ d x d t d t - ∫ α β v ⋅ d y d t d t + i ∫ α β u ⋅ d y d t d t + i ⋅ ∫ α β v ⋅ d x d t d t

Substituindo os nossos valores, teremos:

∫ C I m z 2 d z = ∫ 0 2 2 t 3 ⋅ d t - ∫ 0 2 0 ⋅ 2 t d t   + i ∫ 0 2 2 t 3 ⋅ 2 t d t + i ⋅ ∫ 0 2 0 ⋅ 1 d t

∴ ∫ C I m z 2 d z = ∫ 0 2 2 t 3 ⋅ d t + i ∫ 0 2 2 t 3 ⋅ 2 t d t

Massa! Nossa missão agora é resolver essas duas integrais definidas mais simples!

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral:

∫ 0 2 2 t 3 ⋅ d t

Como trata-se de uma integral polinomial, vamos ter:

∫ 0 2 2 t 3 ⋅ d t = t 4 2 0 2

= 8

Já na outra integral, temos:

∫ 0 2 2 t 3 ⋅ 2 t d t

= ∫ 0 2 4 t 4 d t

= 4 t 5 5 0 2

= 128 5

Portanto, vamos ter que:

∫ 0 2 2 t 3 ⋅ d t + i ∫ 0 2 2 t 3 ⋅ 2 t d t = 8 + i ⋅ 128 5

E é isso galera! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

8 + i ⋅ 128 5

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