Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Nesse exercício, temos que determinar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ x 2 x 8 + x 6 + 2 d x

Para isso, o enunciado recomenda que façamos a comparação com

x 2 x 8 = 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá! Sabemos que para qualquer valor de x teremos

0 < x 2 x 8 + x 6 + 2 < 1 x 2

Se aplicarmos a integral nessa expressão

0 < ∫ 1 ∞ x 2 x 8 + x 6 + 2 d x < ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

Passo 3

Vamos analisar então a convergência de

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

Para isso, precisamos aplicar o limite

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x 2 d x

E resolver normalmente a integral

∫ 1 a 1 x 2 d x

∫ 1 a 1 x 2 d x = - 1 x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 x 2 d x = - 1 a + 1 1

∫ 1 a 1 x 2 d x = - 1 a + 1

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x 2 d x

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 a + 1

Sabemos que

lim a → ∞ ⁡ - 1 a = 0

E

lim a → ∞ ⁡ 1 = 1

Passo 4

Mas lá no passo 2 tínhamos chegado à conclusão de que

0 < ∫ 1 ∞ x 2 x 8 + x 6 + 2 d x < ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = 1

Logo, a integral converge.

Resposta

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