Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integrais Impróprias

e Calcule:

∫ 0 ∞ d x 4 + x 2

Passo 1

Integral imprópria. Ela não tem problema de domínio no intervalo [ 0 , ∞ [ , então temos que tratar com cuidado apenas o limite superior dele, o . Vamos chamar esse cara de a e calcular seu limite quando a → ∞ :

∫ 0 ∞ d x 4 + x 2 = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d x 4 + x 2

Essa integral é parecida com a do arco tangente, vamos forçar ela a ficar igual a essa:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d x 4 + x 2 = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d x 4 1 + x 2 4

= lim a → ∞ ⁡ 1 4 ∫ 0 a d x 1 + x 2 2

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Passo 2

Fazendo uma substituiçãozinha chegamos à uma integral que sabemos fazer de primeira:

u = x 2 → d u = d x 2

u s u p = a 2   ; u i n f = 0 2 = 0

lim a → ∞ ⁡ 1 4 ∫ 0 a d x 1 + x 2 2 = lim a → ∞ ⁡ 1 2 ∫ 0 a 2 d u 1 + u 2

= lim a → ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ u [ a / 2 0

= lim a → ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ a 2 - arctg ⁡ 0

= lim a → ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ a 2

Passo 3

O limite desse arco quando a 2 → ∞ seria π 2 . Se ficou difícil de visualizar pensa o seguinte, se tg ⁡ π 2 = ∞ e arctg ⁡ x é a inversa de tg ⁡ x então lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x = π 2 .

lim a → ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ a 2 = 1 2 arctg ⁡ ∞ = 1 2 π 2

= π 4

Resposta

∫ 0 ∞ d x 4 + x 2 = π 4

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