Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Q03a) Calcule a integral abaixo:

∫ 0 ∞ e - x d x

Passo 1

Pra começar, essa forma de escrever integral professor nem gosta de ver. Então quando vemos uma integral imprópria assim a gente já vai lá e reescreve ela pra uma forma mais adequada:

∫ 0 ∞ e - x d x = lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c e - x d x

Agora que escrevemos assim temos três passos pra resolver:

  • Resolver a integral de forma indefinida
  • Aplicar os limites de integração
  • Aplicar o limite c → + ∞

Vamo que vamo então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Partiu então resolver:

∫ e - x d x

Bem, essa raiz ai dentro do e é bem estranha né? Como trabalhar com ela? Bem, a gente tem que tentar sumir na verdade com ela porque não conhecemos a integral de nada elevado a raízes. Pra tentar sumir, bora substituir então para:

y = x

Desse jeito, derivando em relação à x dos dois lados, vamos ter:

d y d x = 1 2 x

d y d x = 1 2 y

d x d y = 2 y

d x = 2 y d y

Aplicando essa substituição simples na integral, vamos ficar com:

∫ e - x d x = ∫ 2   y   e - y d y

Agora que sumimos com a raíz, ficou um pouco mais tranquilo, porque veja só! Ganhamos um produto de duas funções diferentes, um polinômio - 2 y e uma exponencial   e y . Sentiu cheirinho de integração por partes? Eu senti em! Sendo então:

u = 2 y → d u = 2   d y

e - y d y = d v → v = - e - y

A integração por partes, que segue o modelo:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vai ficar:

∫ 2   y   e y d y = - 2   y e - y - ∫ - 2 e - y   d y  

∫ 2   y   e y d y = - 2   y e - y + ∫ 2 e - y   d y  

∫ 2   y   e y d y = - 2   y e - y - 2 e - y  

∫ 2   y   e y d y = - 2 e - y y + 1  

E voltando pra variável original:

∫ e - x d x = - 2 e - x x + 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração e depois aplicar o limite mesmo de c → ∞ . Vamos ter:

∫ 0 c e - x d x = - 2 e - x x + 1 x = 0 x = c

∫ 0 c e - x d x = - 2 e - c c + 1 - - 2 e - 0 0 + 1

∫ 0 c e - x d x = - 2 c + 1 e c - - 2 e 0 1

∫ 0 c e - x d x = - 2 c - 2 e c + 2

Aplicando o limite então:

lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c e - x d x = lim c → + ∞ ⁡ - 2 c - 2 e c + 2 = lim c → + ∞ ⁡ - 2 c - 2 e c + lim c → + ∞ ⁡ 2

lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c e - x d x = lim c → + ∞ ⁡ - 2 c - 2 e c + 2

O limite que sobrou ali se substituirmos, vamos ver que vai dar uma indeterminação do tipo + ∞ + ∞ . Sendo assim, podemos realizar L’Hospital pra sumir com a indeterminação. Logo vamos ter:

lim c → + ∞ ⁡ - 2 c - 2 e c + 2 = lim c → + ∞ ⁡ - 2 c - 2 ' e c ' + 2 =

Usando a regra da cadeia pra derivar e c e sabendo que c ' = 1 2 c , ficamos com:

= lim c → + ∞ ⁡ - 2 2 c e c 2 c + 2 = lim c → + ∞ ⁡ - 2 e c + 2

E olha só! Agora a indeterminação sumiu, viu? Aplicando o limite vamos ter:

lim c → + ∞ ⁡ - 2 e c + 2 = - 2 + ∞ + 2 = 0 + 2 = 2

Fechado então! A integral vale:

∫ 0 ∞ e - x d x = 2

Resposta

∫ 0 ∞ e - x d x = 2

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