Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Nos exercícios 15 a 23 discuta a convergência da integral ∫ 1 ∞ f x para a função f dada.

22 .   f x = e x ln ⁡ x

Passo 1

Cara, primeiro percebe o seguinte: se uma função é infinita num intervalo, a sua integral naquele intervalo também será infinita, já que a integral é um somatório de valores daquela função (ou você pode pensar como área debaixo da função e acima do eixo x ).

No nosso caso, f x = e x ln ⁡ x é infinita entre 1 e . Dá uma olhada aqui no gráfico:

Tá vendo só? A partir do 1 , ela só cresce, então essa integral será infinita.

Vamos provar isso matematicamente. Para isso, basta a gente calcular o limite dessa função para quando x → ∞ e ver se ele realmente vai pra infinito.

lim x → ∞ ⁡ e x ln ⁡ x = ∞

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Resposta

22 . divergente, pois lim x → ∞ ⁡ e x ln ⁡ x = ∞ ≠ 0 .

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