Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integrais Impróprias

Discuta a convergência ou divergência da integral imprópria

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Vamos resolver esse cara. Se o resultado não explodir para + ∞ ou - ∞ nós saberemos que a integral imprópria converge; caso contrário, diverge.

Quanto a como resolvê-la, lembra aí, sabe qual é a derivada de ln ⁡ x , né?

u = ln ⁡ x → d u = d x x

Temos ali exatamente a derivada do ln ⁡ x ! Vamos fazer essa substituição, mudando também os limites de integração:

u i n f = ln ⁡ x i n f = ln ⁡ 1 = 0

u s u p = ln ⁡ x s u p = ln ⁡ + ∞ = + ∞

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x d x = ∫ 0 + ∞ u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, como a integral é imprópria, aplicamos os limites substituindo o superior por uma variável auxiliar e dizendo que ela tende a + ∞ :

∫ 0 a u d u = u 2 2 [ a 0

= lim a → ∞ ⁡ a 2 2 - 0 2 2 = lim a → ∞ ⁡ a 2 2

= ∞

A integral divergiu!

Resposta

A   i n t e g r a l   d i v e r g e .

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