Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.

31 .   ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x (discuta ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x e use um teorema)

Passo 1

Bom, é sempre importante seguir as dicas/orientações do enunciado. A função f x = cos ⁡ x x 3 é contínua no seu domínio (divisão de funções contínuas), portanto ela vai ser integrável em 1 , b ,   b > 0 , o que torna possível aplicar o teorema:

∫ 1 ∞ f x d x   é   c o n v e r g e n t e →   ∫ 1 ∞ f x d x   é   c o n v e r g e n t e

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Passo 2

Show! Já identificamos o teorema e sabemos que podemos usá-lo nesse caso. O probleminha é que calcular ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x não é tranquilo, então teremos que comparar essa integral a uma que já conhecemos e sabemos calcular. Ora, dá uma olhada nessa desigualdade, considerando x ≥ 1 :

0 ≤ cos ⁡ x x 3 ≤ 1 x 3

Concorda comigo? Porque cos ⁡ x ≥ 1 , então ele vai estar sempre diminuindo aquela fração ou mantendo igual a última da direita.

cos ⁡ x x 3 ≤ 1 x 3 → ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x

∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = lim b → ∞ ⁡ - 2 x 1 b = lim b → ∞ ⁡ - 2 b + 2 = 2

∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = 2

Resposta

Convergente, pois   ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 3 d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = 2

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