Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais:

b   ∫ 0 ∞ x e - x d x

Passo 1

Temos ali uma integral imprópria. Para que não haja nenhuma confusão, vou primeiro calcular a função da integral para então aplicar os limites de integração.

Bom, e para essa questão, o método de integração mais indicado é a integração por partes!! E vamos escolher u = x e então e - x d x = d v . Substituindo na fórmula da integração por partes, teremos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E logo, como:

d u = d x

v = - e - x

Vamos ter

∫ x e - x   d x = - x e - x - ∫ - e - x d x

Resolvendo a integral, chegamos em:

∫ x e - x   d x = - x e - x - e - x

= - e - x x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos aplicar os limites, com o cuidado de que o limite superior não está propriamente definido, então temos que chamar de uma variável qualquer a para aí fazer ela tender a + ∞ .

- e - x x + 1 [ a 0

= - e - a a + 1 - - e 0 0 + 1

= - e - a a + 1 + 1

lim a → ∞ ⁡ - e - a a + 1 + 1 = 1 - lim a → ∞ ⁡ a + 1 e a

Aí para resolver esse limite precisamos de L’Hospital, já que ele vai para ∞ ∞ .

lim a → ∞ ⁡ a + 1 e a → L ' H lim a → ∞ ⁡ a + 1 ' e a '

= lim a → ∞ ⁡ 1 e a = 0

Assim,

- e - x x + 1 [ a 0 = 1 - lim a → ∞ ⁡ a + 1 e a

1 - 0 = 1

Resposta

∫ 0 ∞ x e - x d x = 1

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