Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que um dos limites de integração é infinito.

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

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Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ - ∞ 0 d x x 2 - 3 x + 2 = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x x 2 - 3 x + 2 ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso vamos fatorar o denominador

x 2 - 3 x + 2 = ( x - 2 ) ( x - 1 )

E dividir em frações parciais

1 x 2 - 3 x + 2 = A x - 2 + B x - 1

1 x 2 - 3 x + 2 = A x - 1 ( x - 2 ) ( x - 1 ) + B x - 2 ( x - 2 ) ( x - 1 )

1 = A x - A + B x - 2 B

Logo

A + B = 0

- A - 2 B = 0

A = 1

B = - 1

Então nossa integral fica

∫ a 0 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ a 0 1 x - 2 d x - ∫ a 0 1 x - 1 d x

Resolvendo, ficamos com

∫ a 0 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x - 1 a 0

Aplicando os limites de integração

∫ a 0 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ln ⁡ 0 - 2 - ln ⁡ a - 2 - ln ⁡ 0 - 1 + ln ⁡ a - 1

Passo 4

Aplicando o limite

∫ - ∞ 0 d x x 2 - 3 x + 2 = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x x 2 - 3 x + 2 ⁡ ⁡

∫ - ∞ 0 d x x 2 - 3 x + 2 = lim a → - ∞ ⁡ ( ln ⁡ 0 - 2 - ln ⁡ a - 2 - ln ⁡ 0 - 1 + ln ⁡ a - 1 )   ⁡

= lim a → - ∞ ⁡ ( ln ⁡ - 2 a - 1 - 1   ( a - 2 )

= ln ⁡ 2

O limite resultou um número finito, logo a integral converge.

Resposta

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