Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Questão 3)

b) Avalie a convergência da integral imprópria

∫ - 3 ∞ 1 x + 8 3 / 4 d x

Passo 1

Bem, uma das formas de averiguar divergência da integral, é calculando o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ - 3 t 1 x + 8 3 / 4 d x

E pra isso, devemos resolver essa integral ali dentro dele

∫ - 3 ∞ 1 x + 8 3 / 4 d x

Bora lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ - 3 t 1 x + 8 3 / 4 d x

Fazendo uma mudança de variável...

x + 8 = a       →           d a = d x

Não se esquecendo de mudar os limites...

x = - 3             →                   a = 5

x = t                 →                   a = t + 8

Temos que...

∫ - 3 t 1 x + 8 3 4 d x = ∫ 5 t + 8 1 a 3 4 d a =

∫ 5 t + 8 a - 3 4 d a

a - 3 4 + 1 - 3 4 + 1 5 t + 8 = 4 a 1 4 5 t + 8 =

Substituindo os limites...

4 t + 8 1 4 - 4 5 1 4

Resposta

Aplicando agora o limite novamente encontramos...

lim t → ∞ ⁡ ∫ - 3 t 1 x + 8 3 4 d x = lim t → ∞ ⁡ 4 t + 8 1 4 - 4 5 1 4 =

+ ∞

Então a integral diverge!

Resposta

Integral divergente.

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