Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que um dos limites de integração é infinito.

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

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Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ 0 ∞ e - t sen ⁡ t t x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso vamos utilizar a técnica de integrais por partes

u = sen ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

d v = e - t d t

v = - e - t

Aplicando na fórmula da integral por partes ficamos com

∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t = - sen ⁡ t e - t + ∫ 0 b e - t cos ⁡ t d t  

Vamos fazer novamente a técnica de integrais por partes para resolver ∫ 0 b e - t cos ⁡ t d t

u = cos ⁡ t

d u = sen ⁡ t d t

d v = e - t d t

v = - e - t

Aplicando na fórmula da integral por partes ficamos com

∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t = - sen ⁡ t e - t - cos ⁡ t e - t - ∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t    

Perceba que chegamos na mesma integral que tínhamos inicialmente, então podemos manipular um pouco a nossa expressão

2 ∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t = - sen ⁡ t e - t - cos ⁡ t e - t  

∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t = - 1 2 sen ⁡ t e - t - 1 2 cos ⁡ t e - t

∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t = - 1 2 e - t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) 0 b

Aplicando os limites de integração

∫ 1 b ln ⁡ x   x d x = - 1 2 e - t ( sen ⁡ b + cos ⁡ b ) + 1 2 e - t ( sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 )

Passo 4

Aplicando o limite

∫ 0 ∞ e - t sen ⁡ t t x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t sen ⁡ t   d t ⁡

∫ 0 ∞ e - t sen ⁡ t t x = lim b → ∞ ⁡ - 1 2 e - t ( sen ⁡ b + cos ⁡ b ) + 1 2 e - t ( sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 ) ⁡

= 1 2

O limite resultou em um número finito, logo a integral converge.

Resposta

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