Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Calcule o valor de

∫ 0 + ∞ arctg ⁡ x 1 + x 2 d x

Passo 1

A integral é imprópria, então temos:

∫ 0 + ∞ arctg ⁡ x 1 + x 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b arctg ⁡ x 1 + x 2 d x

Vamos focar por enquanto em calcular a integral

∫ 0 b arctg ⁡ x 1 + x 2 d x

Depois calculamos o limite, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando que a derivada da arco tangente é:

arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Percebendo isso, parece a boa fazer uma substituição simples:

u = arctg ⁡ x → d u = 1 1 + x 2 d x

Adaptando os limites de integração:

x = 0 → u = arctg ⁡ 0 = 0

x = b → u = arctg ⁡ b

Passo 3

Assim, a integral fica:

∫ 0 b arctg ⁡ x 1 + x 2 d x = ∫ 0 arctg ⁡ b u d u

u 2 2 0 arctg ⁡ b = 1 2 arctg 2 ⁡ b - 0 2 = 1 2 arctg 2 ⁡ b

Passo 4

Agora sim, vamos calcular o limite!

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b arctg ⁡ x 1 + x 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 arctg 2 ⁡ b

Temos que

lim b → + ∞ ⁡ arctg ⁡ b = π 2

Então:

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 arctg 2 ⁡ b = 1 2 π 2 2 = π 2 8

E aí está o valor da integral imprópria! :)

Resposta

π 2 8

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