Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Discuta a convergência de

∫ e ∞ d x x s ln ⁡ x

Sugestão: Para s > 1 , compare com 1 / x s ; para s = 1 , calcule a integral; para s < 1 , compare com 1 x ln ⁡ x

Passo 1

Temos uma integral definida com limite meio louco, vamos usar a sugestão que ele deu. Esse s vai atrapalhar mais lá para frente, mas o próprio enunciado deu uma sugestão de como tratar esse s . Vamos começar considerando s > 1 , ele diz para comparar com a integral

∫ e ∞ d x x s

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Passo 2

Vamos começar calculando essa integral, lembrando que calculamos primeiro ela dessa forma

∫ e a d x x s = ∫ e a x - s d x

Depois tomamos o limite de a indo para . Como s ≠ 1

∫ e a x - s d x = x - s + 1 - s + 1 x = e a = a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1

Passo 3

Vamos fazer o limite agora

lim a → ∞ ⁡ a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1

Esse expoente - s + 1 é negativo, porque? Lembra que

s > 1

Então

0 > 1 - s

Isso nos diz que aquele valor de a vai para 0 então

lim a → ∞ ⁡ a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1 = - e - s + 1 - s + 1

E isso nos diz que a integral

∫ e ∞ d x x s

Converge

Como temos ln ⁡ x ≥ 1 nesse intervalo da integração, vamos ter

x s ln ⁡ x ≥ x s

1 x s ln ⁡ x ≤ 1 x s

Lembra do teorema da comparação? Se a função que é maior convergir a menor também vai convergir, então

∫ e ∞ d x x s ln ⁡ x ⟹ C o n v e r g e

Para s > 1

Passo 4

Vamos analisar o caso onde s = 1

∫ e ∞ d x x s ln ⁡ x = ∫ e ∞ d x x ln ⁡ x

Essa integral vai virar o seguinte limite

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x = lim a → ∞ ⁡ ∫ e a d x x ln ⁡ x

Precisamos agora calcular a integral

∫ d x x ln ⁡ x

Repara que a derivada de ln ⁡ x vai ser 1 x isso nos diz que devemos usar substituição simples, vamos ao seu passo a passo

Passo 5

Primeiro temos que identificar o que substituir

u = ln ⁡ x

Agora devemos achar o seu diferencial

d u = 1 x d x

Agora devemos deixar igual ao que temos na integral, neste caso já está igual

Agora devemos substituir na integral

∫ d x x ln ⁡ x = ∫ d u u

Vamos resolver essa nova integral

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Precisamos des-substituir agora

ln ⁡ u + C = ln ⁡ ln ⁡ x + C

Passo 6

Agora vamos ver como ficou o limite, primeiro vamos fazer a integral

∫ e a d x x ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ x x = e a = ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ e = ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ln ⁡ a

O limite vai ficar

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a = ln ⁡ + ∞ = + ∞

Logo a integral diverge para s = 1

Passo 7

Vamos agora ao último caso, s < 1 . ele diz para comparar com a integral

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x

Essa integral é a integral que acabamos de calcular, e ela vai divergir. Repara que

x ≥ x s

Com s < 1 , então

x ln ⁡ x ≥ x s ln ⁡ x

1 x ln ⁡ x ≤ 1 x s ln ⁡ x

Como a integral

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x

Diverge, pelo teorema da comparação a integral

∫ e ∞ d x x s ln ⁡ x ⟹ D i v e r g e

Para s < 1

Passo 8

Resumindo

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x ⟹ s > 1 C o n v e r g e s = 1 D i v e r g e s < 1 D i v e r g e    

Resposta

s > 1 C o n v e r g e s = 1 D i v e r g e s < 1 D i v e r g e

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