Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Calcule a integral

∫ - ∞ 0 3 1 + 2 x ² d x

Passo 1

Olha bem pra função que precisamos integrar. Ela lembra bastante a função 1 1 + x ² cuja integral é arctan ⁡ x . Será que podemos fazer alguma substituição que nos leve a um integrando parecido com esse? A resposta é sim, olha só:

u = √ 2 x

d x = 1 2 d u

x → 0 ; u → 0

x → - ∞ ; u → - ∞

E

∫ - ∞ 0 3 1 + 2 x ² d x = 3 2 ∫ - ∞ 0 1 1 + u ² d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só resolver a integral. Como ela é impropria vamos ter que transformá-la em um limite, assim:

3 2 ∫ - ∞ 0 1 1 + u 2 d u = 3 2 lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 1 1 + u 2 d u

E resolvendo esse limite temos

3 2 l i m a → - ∞ arctan ⁡ u a 0 = 3 2 l i m a → - ∞ arctan ⁡ 0 - arctan ⁡ a = 3 2 l i m a → - ∞ - arctan ⁡ a = 3 2 . π 2 = 3 π 2 2

Resposta

3 π 2 2

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