Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.

29 .   ∫ 0 π 2 d x x s e n x                 c o m p a r e   c o m 1 x

Passo 1

Bora comparar com o 1 x .

Bom, a chave aqui é olha pros limites de integração na hora de comparar. Considerando 0 < x < π 2 , temos que

0 < s e n x < 1

Então:

x s e n x < x

Logo:

0 < 1 x < 1 x s e n x

E portanto:

∫ 0 π 2 d x x s e n x     > ∫ 0 π 2 d x x      

lim b → 0 ⁡   ∫ b π 2 d x x = lim b → 0 ⁡   ln ⁡ x b π 2 = lim b → 0 ⁡   ln ⁡ π 2 - ln ⁡ b

Perceba que nesse caso, colocamos um b porque como estamos tratando de logaritmo, não podemos falar ln ⁡ 0 , por não existir. Então faremos o limite.

lim b → 0 ⁡   ln ⁡ π 2 - ln ⁡ b = ∞

Note, que na função ln ⁡ x , quanto mais próximo de zero é o x , maior ele é e negativo também. Como estamos subtraindo aquele termo, ele fica positivo. Portanto:

∫ 0 π 2 d x x s e n x     > ∫ 0 π 2 d x x = ∞

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Resposta

29 . divergente, pois 0 < x < π 2 → 1 x s e n x > 1 x > 0 → ∫ 0 π 2 d x x s e n x     > ∫ 0 π 2 d x x = ∞

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