Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Avalie se a integral imprópria

∫ 1 ∞ 1 x + 2 1 4 d x

converge ou diverge. Se convergir, calcule o seu valor.

Passo 1

A gente pode reescrever essa integral dessa forma:

∫ 1 ∞ 1 x + 1 1 4 d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 1 c 1 x + 2 1 4   d x

Dizer se essa integral converge ou diverge é dizer se esse limite dá um número ou explode para ± ∞ . E para calcular esse limite, faz sentido a gente calcular essa integral definida né:

∫ 1 c 1 x + 2 1 4   d x

Aí depois a gente faz c → ∞ para descobrir o valor do limite. Vem comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Percebe que a integral tem um termo linear ali, o x + 2 , e só tem um 1 no denominador. Isso são dicas de que a gente pode usar uma substituição simples. Vamos chamar o termo linear de u . Olha como fica:

u = x + 2 ∴ d u d x = 1 ∴ d u = d x

Substituindo essas coisas na integral:

∫ 1 x + 2 1 4 d x = ∫ 1 u 1 4 d u = ∫ u - 1 4 d u = u - 1 4 + 1 - 1 4 + 1 = u 3 4 3 4 = 4 3 u 3 4

Aí voltando para x e aplicando nossos extremos de integração, já que u = x + 2 :

∫ 1 x + 2 1 4 d x = 4 3 u 3 4 = 4 3 x + 2 3 4

∫ 1 c 1 x + 2 1 4   d x = 4 3 x + 2 3 4 1 c = 4 3 c + 2 3 4 - 4 3 3 3 4

Passo 3

Agora a gente substitui isso que achou no limite:

∫ 1 ∞ 1 x + 1 1 4 d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 1 c 1 x + 2 1 4   d x = lim c → ∞ ⁡ 4 3 c + 2 3 4 - 4 3 3 3 4

Repara que esse primeiro termo que tem o c vai tender ao infinito e o segundo termo vai tender a um número. Imagina subtrair um número pequeno de um número gigante: o resultado continua dando um número gigante, né?

É isso que está acontecendo ali. A gente tá tirando um valor de algo que tende a infinito, então essa subtração que temos no limite vai tender a infinito. Aí a gente escreve:

lim c → ∞ ⁡ 4 3 c + 2 3 4 - 4 3 3 3 4 → ∞

A gente vê com isso que a nossa integral vai divergir, já que o limite explodiu para infinito. ☹

Resposta

Diverge

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