Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

O exercício nos pede para resolver a integral imprópria

∫ 1 ∞ 1 x + e x   d x

E como ela é bem chatinha de resolver, nos recomenda que façamos a comparação com 1 / e x .

Já que nossos limites estão sempre na condição x ≥ 1 . Sempre teremos

0 < 1 x + e x < 1 e x

Então se aplicarmos a integral

0 < ∫ 1 ∞ 1 x + e x d x < ∫ 1 ∞ 1 e x   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então podemos analisar a convergência observando a integral

∫ 1 ∞ 1 e x   d x

Para isso podemos aplicar o limite com a → ∞ .

∫ 1 ∞ 1 e x   d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 e x   d x

Para resolver o limite basta integrarmos normalmente

∫ 1 a 1 e x   d x = - e - x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 e x   d x = - e - a + e - 1

∫ 1 a 1 e x   d x = - 1 e a + 1 e

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 e x   d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 e a + 1 e = 1 e

Passo 3

Se sabemos que

0 < ∫ 1 ∞ 1 x + e x d x < ∫ 1 ∞ 1 e x   d x

E

∫ 1 ∞ 1 e x   d x = 1 e

Ou seja, converge. Então nossa integral converge!

Resposta

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