Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Nesse exercício, temos que determinar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ sen 2 ⁡ x 1 + x 2 d x

Mas essa integral não é trivial de ser resolvida e apenas precisamos determinar apenas a convergência, então vamos fazer isso pelo método da comparação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, vamos observar que

0 ≤ sen 2 ⁡ x 1 + x 2 ≤ 1 1 + x 2

Então, se aplicarmos a integral

0 ≤ ∫ 1 ∞ sen 2 ⁡ x 1 + x 2   d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x

Passo 3

Vamos analisar então a convergência de

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x

Para isso, precisamos aplicar o limite

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 1 + x 2 d x

E resolver normalmente a integral

∫ 1 a 1 1 + x 2 d x

Essa é uma daquelas integrais trigonométricas

∫ 1 a 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ a - arctan ⁡ 1

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 1 + x 2 d x

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ( arctan ⁡ a - arctan ⁡ 1 )

Sabemos que

lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ a = π 2

lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ 1 = π 4

Então

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x = π 2 - π 4 = π 4

Passo 4

Bom, então se

0 ≤ ∫ 1 ∞ sen 2 ⁡ x 1 + x 2   d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x

E

∫ 1 ∞ 1 1 + x 2 d x = π 4

Então nossa integral é convergente.

Resposta

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