Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Avalie a integral:

∫ 0 + ∞ x e - x d x

Passo 1

Procurar por descontinuidades

Essa integral parece tranquila né? Só integrar e aplicar os limites e ir pro abraço! Infelizmente, não é só isso. Dá uma olhada:

x e - x = x e x

S e   x = + ∞   ;   x e x = ∞ ∞

Portanto um dos limites de integração está envolvido com uma indeterminação. Puts, nesse caso então, vamos ter que trabalhar com limites e integrais, não é? É sim! Vamos reescrever então:

∫ 0 + ∞ x e - x d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x e - x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral

Vamos então sumir com a integral pra podermos trabalhar só com limites beleza? Sendo assim, vamos calcular:

∫ x e - x d x

Quando a gente topa com uma potência de x multiplicando uma função f x qualquer, uma boa ideia é tentar resolver integrando por partes. Principalmente quando essa potência é x ¹ porque basta derivar uma vez pra sumir e virar um número. Então vamos lá:

e - x d x = d v → v = - e - x

x = u → d x = d u

Vamos ficar então com:

∫ x e - x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x e - x d x = - x e - x - ∫ - e - x d x = - x e - x + ∫ e - x d x

∫ x e - x d x = - x e - x - e - x =   - e - x x + 1 =   - x + 1 e x

Passo 3

Aplicando os limites de integração e realizando o limite a → + ∞

Beleeeza, resolvemos a integral. Vamos então aplicar os limites de integração pra depois finalmente poder resolver o limite a → + ∞ . Partiu:

∫ 0 a x e - x d x =   - x + 1 e x x = 0 x = a =   - a + 1 e a + 0 + 1 e 0 = 1 - a + 1 e a

E pra fechar com chave de ouro, vamos aplicar o limite a →   + ∞ .

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x e - x d x = lim a → + ∞ ⁡ 1 - a + 1 e a = 1 - lim a → + ∞ ⁡ a + 1 e a

Fica atento aqui ó: o limite que sobrou é um limite clássico pra resolver por L’Hospital. Isso porque quando a → + ∞ , ficamos com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Derivando em cima e em baixo então, ficamos com:

lim a → + ∞ ⁡ a + 1 e a = lim a → + ∞ ⁡ 1 e a = 0

Show de bola, fechamos a questão:

∫ 0 + ∞ x e - x d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x e - x d x =   1 - lim a → + ∞ ⁡ a + 1 e a = 1

Resposta

∫ 0 + ∞ x e - x d x = 1

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