Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integrais Impróprias

b Determine se a seguinte integral imprópria é finita:

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x d x

Passo 1

Integralzinha imprópria, limite superior é . Vamos primeiro resolver esse cara para depois substituir os limites com todos os cuidados necessários.

∫ 1 x ln ⁡ x d x

Essa integral sai por substituição, né? A derivada de ln ⁡ x é 1 x . Vamos nesse caminho:

u = ln ⁡ x → d u = d x x

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ∫ d u u

= ln ⁡ u

= ln ⁡ ln ⁡ x + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os limites agora, temos que tirar esse , colocar um a no lugar dele e calcular o limite de a → ∞ :

ln ⁡ ln ⁡ x [ ∞ e

= lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ e = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ 1

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - 0 = ∞ - 0

= ∞

E a integral divergiu! Ou seja, a integral é infinita!

Resposta

N ã o ,   a   i n t e g r a l   n ã o   é   f i n i t a .

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