Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Verifique se a integral imprópria é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.

∫ 3 + ∞ 1 3 x - 1 3 d x

Passo 1

A integral é imprópria, pois o intervalo de integração é ilimitado. Transformando isso em um limite para resolver o problema do intervalo ilimitado teremos:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 3 b 1 3 x - 1 3 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral indefinida pode ser resolvida fazendo uma substituição simples.

u = 3 x - 1

d u = 3 d x → d u 3 = d x

1 3 ∫ 1 u 3 d u =

1 3 ∫ u - 1 3 d u =

1 3 . u 2 3 2 3 + C =

1 3 . 3 u 2 3 2 + C

u 2 3 2 + C

Passo 3

Só falta voltar para a variável original.

u 2 3 2 + C = ( 3 x - 1 ) 2 3 2 + C

Passo 4

Portanto,

lim b → ∞ ⁡ ∫ 3 b 1 3 x - 1 3 d x = l i m b → ∞ 3 x - 1 2 3 2 3 b =

l i m b → ∞ 3 b - 1 2 3 2 - 3.3 - 1 2 3 2 =

l i m b → ∞ 3 b - 1 2 3 2 - 8 2 3 2 =

l i m b → ∞ 3 b - 1 2 3 2 - 2 ³ 2 3 2 =

l i m b → ∞ 3 b - 1 2 3 2 - 2 ² 2 =

l i m b → ∞ 3 b - 1 2 3 2 - 2 = 3 ∞ - 1 2 3 2 - 2 = ∞

Portanto, a integral é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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