Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que os limites de integração são infinito.

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

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Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ - ∞ ∞ x   e - x 2 d x = lim r → ∞ ⁡ ∫ - r r x   e - x 2 d x ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso vamos utilizar a substituição

u = - x 2

d u = - 2 x   d x

∫ - r r x   e - x 2 d x = - 1 2 ∫ - r r e u d u

= - e u 2 - r r

Desfazendo a substituição

∫ - r r x   e - x 2 d x = - e - x 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ - r r x   e - x 2 d x = - e - r 2 2 + e - r 2 2 = 0

Passo 4

Nesse caso, se aplicarmos o limite, o valor resultante será 0 . Então, como o limite resultou em um número finito a integral converge.

Resposta

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