Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G4 - 2017.1, Questão 1e

e) 1 + 1 - x e - x d x

Passo 1

Epa! A gente sempre começa um problema de integral imprópria definindo primeiro um limite:

lim n 1 n 1 - x e - x d x

Vamos resolver essa integral definida aí e ver no que dá quando aplicar o limite no resultado. Bora?

Podemos separar essa integral aí, em duas partes, pois 1 - x e - x = e - x - x e - x , mas a gente só pode fazer isso se a gente esquecer que essa integral é definida, só por enquanto:

    1 - x e - x d x =     e - x d x -     x e - x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, na primeira, podemos realizar uma substituição de - x por a , logo d x = - d a . Substituindo tudo na integral:

    e - x d x =     e a - d a = -     e a d a

    e - x d x = - e a + c

Voltando com a variável original

    e - x d x = - e - x + c

Passo 3

Quanto a integral de     x e - x d x , a gente pode notar que se derivarmos x e integrarmos e - x , ganhamos coisas simples de trabalhar, logo devemos fazer utilizando integração por partes, correto?

Lembrando que a integração por parte é

u d v = u v - v d u

Onde a u é sempre aquela fácil de derivar, nesse caso

u = x                               d u = d x

E d v é a outra. Como já calculamos a integral de e - x , podemos obter v :

d v = e - x d x                               v = - e - x

Logo,

    x e - x d x = - x e - x - - e - x d x

    x e - x d x = - x e - x + e - x d x

Pelo passo anterior...

    x e - x d x = - x e - x - e - x + k

Passo 4

Voltando para a integral     1 - x e - x d x , teremos

    1 - x e - x d x = - e - x + c - ( - x e - x + - e - x + k )

Simplificando e lembrando que soma de constantes é uma única constante c ...

    1 - x e - x d x = x e - x + c

Aplicando agora a determinação nesse resultado

1 n 1 - x e - x d x = x e x 1 n

= n e n - 1 e

Passo 5

Aplicando por fim aquele limite

lim n 1 n 1 - x e - x d x = lim n n e n - 1 e

Essa constante por propriedade de limite pode sair da integral, ou seja:

- 1 e + lim n n e n

Quanto a esse limite, como temos que quando n vai para o infinito temos algo do tipo , podemos utilizar L ' H o p i t a l , ou seja, vamos derivar em cima e em baixo.

lim n n e n = lim n 1 e n

Sabemos que esse limite é 0 , pois o denominador vai para o infinito, logo

lim n 1 n 1 - x e - x dx = - 1 e + lim n n e n

= - 1 e

Resposta

1 + 1 - x e - x d x = - 1 e

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