Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2017.1, Questão Q03b

Avalie a integral:

0 + x e - x d x

Passo 1

Procurar por descontinuidades

Essa integral parece tranquila né? Só integrar e aplicar os limites e ir pro abraço! Infelizmente, não é só isso. Dá uma olhada:

x e - x = x e x

S e   x = +   ;   x e x =

Portanto um dos limites de integração está envolvido com uma indeterminação. Puts, nesse caso então, vamos ter que trabalhar com limites e integrais, não é? É sim! Vamos reescrever então:

0 + x e - x d x = lim a + 0 a x e - x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral

Vamos então sumir com a integral pra podermos trabalhar só com limites beleza? Sendo assim, vamos calcular:

x e - x d x

Quando a gente topa com uma potência de x multiplicando uma função f x qualquer, uma boa ideia é tentar resolver integrando por partes. Principalmente quando essa potência é x ¹ porque basta derivar uma vez pra sumir e virar um número. Então vamos lá:

e - x d x = d v v = - e - x

x = u d x = d u

Vamos ficar então com:

x e - x d x = u d v = u v - v d u

x e - x d x = - x e - x - - e - x d x = - x e - x + e - x d x

x e - x d x = - x e - x - e - x =   - e - x x + 1 =   - x + 1 e x

Passo 3

Aplicando os limites de integração e realizando o limite a +

Beleeeza, resolvemos a integral. Vamos então aplicar os limites de integração pra depois finalmente poder resolver o limite a + . Partiu:

0 a x e - x d x =   - x + 1 e x x = 0 x = a =   - a + 1 e a + 0 + 1 e 0 = 1 - a + 1 e a

E pra fechar com chave de ouro, vamos aplicar o limite a   + .

lim a + 0 a x e - x d x = lim a + 1 - a + 1 e a = 1 - lim a + a + 1 e a

Fica atento aqui ó: o limite que sobrou é um limite clássico pra resolver por L’Hospital. Isso porque quando a + , ficamos com uma indeterminação do tipo . Derivando em cima e em baixo então, ficamos com:

lim a + a + 1 e a = lim a + 1 e a = 0

Show de bola, fechamos a questão:

0 + x e - x d x = lim a + 0 a x e - x d x =   1 - lim a + a + 1 e a = 1

Resposta

0 + x e - x d x = 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas