Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2015.1, Questão 1 e

e Calcule:

0 d x 4 + x 2

Passo 1

Integral imprópria. Ela não tem problema de domínio no intervalo [ 0 , [ , então temos que tratar com cuidado apenas o limite superior dele, o . Vamos chamar esse cara de a e calcular seu limite quando a :

0 d x 4 + x 2 = lim a 0 a d x 4 + x 2

Essa integral é parecida com a do arco tangente, vamos forçar ela a ficar igual a essa:

lim a 0 a d x 4 + x 2 = lim a 0 a d x 4 1 + x 2 4

= lim a 1 4 0 a d x 1 + x 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo uma substituiçãozinha chegamos à uma integral que sabemos fazer de primeira:

u = x 2 d u = d x 2

u s u p = a 2   ; u i n f = 0 2 = 0

lim a 1 4 0 a d x 1 + x 2 2 = lim a 1 2 0 a 2 d u 1 + u 2

= lim a 1 2 arctg u [ a / 2 0

= lim a 1 2 arctg a 2 - arctg 0

= lim a 1 2 arctg a 2

Passo 3

O limite desse arco quando a 2 seria π 2 . Se ficou difícil de visualizar pensa o seguinte, se tg π 2 = e arctg x é a inversa de tg x então lim x arctg x = π 2 .

lim a 1 2 arctg a 2 = 1 2 arctg = 1 2 π 2

= π 4

Resposta

0 d x 4 + x 2 = π 4

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