Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2019.1, Questão Q01c

Calcule as integrais:

0 + e - x sin x   d x

Passo 1

Bem, olha, vamos com calma. Primeiro a gente resolve de forma indefinida, depois aplica os limites de integração. Nota o seguinte galera, temos um produto de funções diferentes. Então seguindo a ordem do LIATE, temos que, numa integração por partes:

u = sin x

d v = e - x d x

Derivando em cima e integrando em baixo, teremos:

d u = cos x   d x

v = - e - x

Como essa técnica tem essa fórmula:

u   d v = u v - v   d u

Ficaremos com:

e - x sin x   d x = - e - x sin x + e - x cos x   d x

Repetindo essa ideia pra integral que sobrou, teremos pelo LIATE:

u = cos x

d v = e - x d x

E também:

d u = - sin x   d x

v = - e - x

Nesse caso:

u   d v = u v - v   d u

Viraria:

e - x cos x   d x = - e - x cos x - e - x sin x   d x

E pronto, agora podemos juntar os dois resultados e fechar a integração indefinida:

e - x sin x   d x = - e - x sin x + e - x cos x   d x

e - x cos x   d x = - e - x cos x - e - x sin x   d x

Resulta em:

e - x sin x   d x = - e - x sin x + - e - x cos x - e - x sin x   d x

2 e - x sin x   d x = - e - x sin x - e - x cos x

e - x sin x   d x = - e - x 2 sin x + cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora galera, ta acabando! Agora aplicamos os limites de integração. Mas como um deles é infinito, primeiro escrevemos da forma correta:

0 e - x sin x   d x = lim t + 0 t e - x sin x   d x

Agora sim! Como sabemos o resultado da integral, vamos ter:

lim t + 0 t e - x sin x   d x = lim t + - e - x 2 sin x + cos x x = 0 x = t

lim t + 0 t e - x sin x   d x = lim t + - e - t 2 sin t + cos t - - e 0 2 sin 0 + cos 0

lim t + 0 t e - x sin x   d x = lim t + - 1 2 e t sin t + cos t - - 1 2 0 + 1

lim t + 0 t e - x sin x   d x = lim t + - 1 2 e t sin t + cos t + 1 2

Veja bem, apesar de sin t , cos t serem funções oscilatórias, sem limite no infinito, como estão sendo multiplicadas por - 1 2 e t e:

lim t + - 1 2 e t = 0

Podemos cortar essa parte da conta e achar:

lim t + 0 t e - x sin x   d x = 1 2

Temos então que a integral converge!

0 + e - x sin x   d x = 1 2

Resposta

0 + e - x sin x   d x = 1 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas