Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2013.1, Questão 2.ii

Calcule as integrais abaixo. Justifique as respostas.

1 + ln x   x 2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular uma integral em que o limite superior de integração é infinito. Logo, trata-se de uma integral imprópria!

Para calcular uma integral imprópria, devemos substituí-la por uma integral definida e um limite, calcular a integral genérica normalmente e, depois, calcular o limite. Eventualmente, iremos ter que usar L’Hôspital para calcularmos o limite. Vamos ver como fica na prática.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

1 + ln x   x 2 d x = lim t 1 t   ln x x 2 d x

Vamos calcular a integral normalmente e, depois, aplicar o limite:

1 t ln x   x - 2 d x

Repare que temos uma função logarítmica multiplicando uma função polinomial. Vamos usar a integração por partes:

u = ln x d u = 1 x d x     ( l o g a r í t m i c a ) d v = x - 2   d x v = - x - 1     ( p o l i n o m i a l )

Substituindo:

u d v = u v - v d u

1 t ln x x - 2 d x = - ln x x 1 t + 1 t d x x 2 =

= - ln x x 1 t - 1 x 1 t = - ln t t - ln 1 1 - 1 t - 1 1 =

= 1 - ln t t - 1 t

Passo 3

Vamos calcular o limite:

lim t 1 - ln t t - 1 t = 1 - lim t ln t t - 0 = 1 - lim t ln t t

Olhando para o limite que sobrou, verificamos uma indeterminação do tipo . Logo, podemos usar a regra de L’Hôspital. Basta derivar em cima e embaixo:

1 - lim t ln t t = 1 - lim t 1 t 1 = 1 - 0 = 1

Resposta

1 + ln x   x 2 d x = 1

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