Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2012.1, Questão 2a

Calcule a seguinte integral imprópria:

1 + ln x x d x

Passo 1

Por definição, o valor da integral imprópria é igual ao limite:

lim b + 1 b ln x x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando só a integral, depois tomamos o limite:

1 b ln x x d x

Fazendo a substituição simples

u = ln x d u = 1 x d x

Corrigindo os limites de integração:

x = 1 u = ln 1 = 0

x = b u = ln b

Daí a integral fica:

0 ln b u d u = u 2 2 0 ln b = ln 2 b 2

Passo 3

Agora sim, vamos calcular a integral imprópria, fazendo o limite:

lim b + 1 b ln x x d x = lim b + ln 2 b 2 = +

A integral diverge!

Resposta

A integral diverge:

1 + ln x x d x = +

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