Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2018.1, Questão Q04

Calcule a seguinte integral imprópria

0 e - x cos x   d x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é ficar de olho num conceito importante sobre integrais:

0 e - x cos x   d x

Eta, pera lá. Limite de integração infinito? Não rola né? Mas e se escrevêssemos assim:

0 e - x cos x   d x = lim a + 0 a e - x cos x   d x

Agora sim temos uma integral que dá pra calcular. Então vamos fazer o seguinte: primeiro integramos indefinidamente, depois aplicamos os limites de integração e depois aplicamos o limite a + , belê?

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Passo 2

Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:

e - x

cos x

Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, ok? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:

f   d g = f g -   g   d f

Vamos ter que escolher primeiro f e d g . Se fizermos:

f = cos x d f d x = - sin x d f = - sin x   d x

d g = e - x d x g = - e - x

Substituimos então na fórmula da integração por partes:

e - x cos x   d x = - e - x cos x - e - x sin x   d x

Ok, mas e agora? Não ajudou em nada! Calma gafanhoto, pode até não ter dado certo, mas ainda. Porque veja bem, se pegarmos a integral:

e - x sin x   d x

E fizermos integração por partes de novo, a integral original:

e - x cos x   d x

Vai reaparecer. Quer ver? Seja:

f = sin x d f d x = cos x d f = cos x   d x

d g = e - x d x g = - e - x

Na fórmula da integração por partes, vamos ter:

f   d g = f g -   g   d f

e - x sin x   d x = - e - x sin x +   e - x cos x   d x

Então juntando os dois resultados:

e - x cos x   d x = - e - x cos x - e - x sin x   d x

e - x sin x   d x = - e - x sin x +   e - x cos x   d x

Vamos ter:

e - x cos x   d x = - e - x cos x - - e - x sin x +   e - x cos x   d x

e - x cos x   d x = - e - x cos x + e - x sin x - e - x cos x   d x

2 e - x cos x   d x = - e - x cos x + e - x sin x

e - x cos x   d x = e - x 2 sin x - cos x

Passo 3

Show de bola, agora que terminamos de calcular a integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração. Vamos ter:

0 a e - x cos x   d x = e - x 2 sin x - cos x x = 0 x = a

0 a e - x cos x   d x = e - a 2 sin a - cos a - e - 0 2 sin 0 - cos 0

0 a e - x cos x   d x = sin a - cos a 2 e a - 1 2 - 1

0 a e - x cos x   d x = sin a - cos a 2 e a + 1 2

Agora é só aplicar o limite a +

lim a + 0 a e - x cos x   d x = lim a + sin a - cos a 2 e a + 1 2

lim a + sin a - cos a 2 e a + 1 2 = lim a + sin a - cos a 2 e a + lim a + 1 2

O segundo limite sai direto:

lim a + 1 2 = 1 2

Já o primeiro, vamos olhar com calma:

lim a + sin a - cos a 2 e a

Veja que, como sin a e cos a são funções cíclicas, não há um limite pra a + . Mas se a gente olhar bem, isso não vai importar muito porque por mais que seja impossível de saber que número sin a - cos a dá quando a + , nesse limite, 2 e a , e logo, vamos ter um número dividido por outro infinitamente grande. Sendo asism:

lim a + sin a - cos a 2 e a = 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo que vimos:

0 e - x cos x   d x = lim a + 0 a e - x cos x   d x

e - x cos x   d x = e - x 2 sin x - cos x

0 a e - x cos x   d x = sin a - cos a 2 e a + 1 2

lim a + sin a - cos a 2 e a + 1 2 = 1 2

Sendo assim:

0 e - x cos x   d x = 1 2

Resposta

0 e - x cos x   d x = 1 2

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