Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2012.2 - Noturno, Questão 2 b

Calcule as seguintes integrais:

b   0 x e - x d x

Passo 1

Temos ali uma integral imprópria. Para que não haja nenhuma confusão, vou primeiro calcular a função da integral para então aplicar os limites de integração.

Bom, e para essa questão, o método de integração mais indicado é a integração por partes!! E vamos escolher u = x e então e - x d x = d v . Substituindo na fórmula da integração por partes, teremos:

u   d v = u v - v   d u

E logo, como:

d u = d x

v = - e - x

Vamos ter

x e - x   d x = - x e - x - - e - x d x

Resolvendo a integral, chegamos em:

x e - x   d x = - x e - x - e - x

= - e - x x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos aplicar os limites, com o cuidado de que o limite superior não está propriamente definido, então temos que chamar de uma variável qualquer a para aí fazer ela tender a + .

- e - x x + 1 [ a 0

= - e - a a + 1 - - e 0 0 + 1

= - e - a a + 1 + 1

lim a - e - a a + 1 + 1 = 1 - lim a a + 1 e a

Aí para resolver esse limite precisamos de L’Hospital, já que ele vai para .

lim a a + 1 e a L ' H lim a a + 1 ' e a '

= lim a 1 e a = 0

Assim,

- e - x x + 1 [ a 0 = 1 - lim a a + 1 e a

1 - 0 = 1

Resposta

0 x e - x d x = 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas