Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

USP, Cálculo 1, P3 - 2016, Questão 3

Calcule o valor de

0 + arctg x 1 + x 2 d x

Passo 1

A integral é imprópria, então temos:

0 + arctg x 1 + x 2 d x = lim b + 0 b arctg x 1 + x 2 d x

Vamos focar por enquanto em calcular a integral

0 b arctg x 1 + x 2 d x

Depois calculamos o limite, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando que a derivada da arco tangente é:

arctg x ' = 1 1 + x 2

Percebendo isso, parece a boa fazer uma substituição simples:

u = arctg x d u = 1 1 + x 2 d x

Adaptando os limites de integração:

x = 0 u = arctg 0 = 0

x = b u = arctg b

Passo 3

Assim, a integral fica:

0 b arctg x 1 + x 2 d x = 0 arctg b u d u

u 2 2 0 arctg b = 1 2 arctg 2 b - 0 2 = 1 2 arctg 2 b

Passo 4

Agora sim, vamos calcular o limite!

lim b + 0 b arctg x 1 + x 2 d x = lim b + 1 2 arctg 2 b

Temos que

lim b + arctg b = π 2

Então:

lim b + 1 2 arctg 2 b = 1 2 π 2 2 = π 2 8

E aí está o valor da integral imprópria! :)

Resposta

π 2 8

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