Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.2 – 4

Considere a região infinita R limitada pela curva

y = e - x 2 x 2 + 1 2     - < x <

e pelo eixo x . Escreva uma integral que represente a área de R e determine, sem calcular a integral, se essa região tem a área finita ou infinita. Justifique sua resposta.

Passo 1

Ora, o enunciado nos fala de uma região limitada pela curva y e pelo eixo x . Essa região é a área entre a curva y e o eixo x , ou seja, a integral de y .

Como os limites de integração são infinitos, trata-se de uma integral imprópria!

O problema quer saber se essa região tem área finita ou infinita. Ou seja, quer saber se o resultado da integral imprópria é um número ou é infinito, ou melhor, se a integral é convergente ou divergente.

Repare, também, que o enunciado nos diz para não calcular a integral. Como vamos saber se a integral é convergente ou divergente sem calculá-la? Vamos usar o Teorema de Comparação!

Queremos saber se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente:

- e - x 2 x 2 + 1 2 d x

Temos que usar o Teorema de Comparação que diz que se f ( x ) g ( x ) , então:

1. Se - f ( x ) d x é convergente, então a g ( x ) d x será convergente também.

2. Se - g ( x ) d x é divergente, então a f ( x ) d x será divergente também.

Logo, o problema consiste em acharmos uma g ( x ) para que possamos comparar com a função dada e decobrir a convergência ou divergência dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f x = e - x 2 x 2 + 1 2

Repare que f - x = f ( x ) . Logo, essa função é par e:

- e - x 2 x 2 + 1 2 d x = 2 0 e - x 2 x 2 + 1 2 d x

Vamos dividir a integral em duas:

0 e - x 2 x 2 + 1 2 d x = 0 1 e - x 2 x 2 + 1 2 d x + 1 e - x 2 x 2 + 1 2 d x

Passo 3

A primeira integral converge e dá um número (é uma integral definida). Vamos analisar se a segunda converge. Temos que:

e - x 2 x 2 + 1 2 = 1 e x 2 x 2 + 1 2

Para x 1 :

1 e x 2 x 2 + 1 2 < 1 x 2 + 1 2 < 1 x 2 2 = 1 x 4

Como

1 d x x 4 = - 1 3 . 1 x 3 1 = 0 + 1 3 = 1 3

Se a integral de 1 / x 4 converge, então, 1 e x 2 x 2 + 1 2 converge e, consequentemente:

- e - x 2 x 2 + 1 2 d x   t e m   á r e a   f i n i t a

OBS:

Em problemas de convergência em que não podemos calcular a integral (seja porque o enunciado pede ou porque é difícil de calcular), temos que usar o Teorema de Comparação.

Como fizemos aqui:

1 e x 2 x 2 + 1 2 < 1 x 2 + 1 2 < 1 x 2 2 = 1 x 4

O melhor jeito de comparar é especificar um intervalo (ex: x > 1 ), onde a função se comporta de maneira previsível e ir comparando aos poucos até chegar em uma função muito simples.

Resposta

- e - x 2 x 2 + 1 2 d x   t e m   á r e a   f i n i t a

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