Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

USP, Cálculo 1, P3 - 2017, Questão 5

Considere as seguintes integrais impróprias

I 1 : 2 + 1 x ln x d x

I 2 : 0 + x x 4 + 1 d x

Analise a convergência de cada uma.

Passo 1

Começando com a integral I 1 . Primeiro temos que tirar o infinito do intervalo de integração.

2 + 1 x ln x d x = lim b 2 b 1 x ln x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolver a integral indefinida

1 x ln x d x

Faremos a seguinte substituição:

u = ln x

d u = 1 x d x

A integral se torna:

1 u d u =

ln u + C

Voltando para a variável x :

ln ( ln x ) + C

Passo 3

Agora podemos fazer a integral definida.

2 b 1 x ln x d x = ln ( ln x ) 2 b = ln ( ln b ) - ln ( ln 2 )

E finalmente o limite:

l i m b ln ( ln b ) - ln ln 2 = - ln ln 2 =

Portanto, essa integral é divergente.

Passo 4

Agora é vez da integral I 2 . Primeiro temos que tirar o infinito do intervalo de integração.

0 + x x 4 + 1 d x = lim b 0 b x x 4 + 1 d x

Passo 5

Agora vamos resolver a integral indefinida

x x 4 + 1 d x

Faremos a seguinte substituição:

u = x ²

d u = 2 x d x

A integral se torna:

1 2 1 u 2 + 1 d u =

1 2 arctan u + C

Voltando para a variável x :

1 2 arctan x ² + C

Passo 6

Agora podemos fazer a integral definida.

0 b x x 4 + 1 d x = 1 2 arctan x ² 0 b = 1 2 arctan b ² - 1 2 arctan 0 2 = 1 2 arctan b 2 - 0 = 1 2 arctan b ²

E finalmente o limite:

l i m b 1 2 arctan b ² = 1 2 l i m b arctan b ² = 1 2 . π 2 = π 4

Portanto, essa integral é convergente para π 4 .

Resposta

I 1   d i v e r g e   e n q u a n t o   I 2   c o n v e r g e   p a r a   π 4

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