Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2015.1 - 5ª Vespertino, Questão 3

Discuta a convergência ou divergência da integral imprópria

1 + ln x x d x

Passo 1

Vamos resolver esse cara. Se o resultado não explodir para + ou - nós saberemos que a integral imprópria converge; caso contrário, diverge.

Quanto a como resolvê-la, lembra aí, sabe qual é a derivada de ln x , né?

u = ln x d u = d x x

Temos ali exatamente a derivada do ln x ! Vamos fazer essa substituição, mudando também os limites de integração:

u i n f = ln x i n f = ln 1 = 0

u s u p = ln x s u p = ln + = +

1 + ln x x d x = 0 + u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, como a integral é imprópria, aplicamos os limites substituindo o superior por uma variável auxiliar e dizendo que ela tende a + :

0 a u d u = u 2 2 [ a 0

= lim a a 2 2 - 0 2 2 = lim a a 2 2

=

A integral divergiu!

Resposta

A   i n t e g r a l   d i v e r g e .

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