Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 7, Questão 24

Discuta a convergência de

e d x x s ln x

Sugestão: Para s > 1 , compare com 1 / x s ; para s = 1 , calcule a integral; para s < 1 , compare com 1 x ln x

Passo 1

Temos uma integral definida com limite meio louco, vamos usar a sugestão que ele deu. Esse s vai atrapalhar mais lá para frente, mas o próprio enunciado deu uma sugestão de como tratar esse s . Vamos começar considerando s > 1 , ele diz para comparar com a integral

e d x x s

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Passo 2

Vamos começar calculando essa integral, lembrando que calculamos primeiro ela dessa forma

e a d x x s = e a x - s d x

Depois tomamos o limite de a indo para . Como s 1

e a x - s d x = x - s + 1 - s + 1 x = e a = a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1

Passo 3

Vamos fazer o limite agora

lim a a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1

Esse expoente - s + 1 é negativo, porque? Lembra que

s > 1

Então

0 > 1 - s

Isso nos diz que aquele valor de a vai para 0 então

lim a a - s + 1 - s + 1 - e - s + 1 - s + 1 = - e - s + 1 - s + 1

E isso nos diz que a integral

e d x x s

Converge

Como temos ln x 1 nesse intervalo da integração, vamos ter

x s ln x x s

1 x s ln x 1 x s

Lembra do teorema da comparação? Se a função que é maior convergir a menor também vai convergir, então

e d x x s ln x C o n v e r g e

Para s > 1

Passo 4

Vamos analisar o caso onde s = 1

e d x x s ln x = e d x x ln x

Essa integral vai virar o seguinte limite

e d x x ln x = lim a e a d x x ln x

Precisamos agora calcular a integral

d x x ln x

Repara que a derivada de ln x vai ser 1 x isso nos diz que devemos usar substituição simples, vamos ao seu passo a passo

Passo 5

Primeiro temos que identificar o que substituir

u = ln x

Agora devemos achar o seu diferencial

d u = 1 x d x

Agora devemos deixar igual ao que temos na integral, neste caso já está igual

Agora devemos substituir na integral

d x x ln x = d u u

Vamos resolver essa nova integral

d u u = ln u + C

Precisamos des-substituir agora

ln u + C = ln ln x + C

Passo 6

Agora vamos ver como ficou o limite, primeiro vamos fazer a integral

e a d x x ln x = ln ln x x = e a = ln ln a - ln ln e = ln ln a - ln 1 = ln ln a

O limite vai ficar

lim a ln ln a = ln + = +

Logo a integral diverge para s = 1

Passo 7

Vamos agora ao último caso, s < 1 . ele diz para comparar com a integral

e d x x ln x

Essa integral é a integral que acabamos de calcular, e ela vai divergir. Repara que

x x s

Com s < 1 , então

x ln x x s ln x

1 x ln x 1 x s ln x

Como a integral

e d x x ln x

Diverge, pelo teorema da comparação a integral

e d x x s ln x D i v e r g e

Para s < 1

Passo 8

Resumindo

e d x x ln x s > 1 C o n v e r g e s = 1 D i v e r g e s < 1 D i v e r g e    

Resposta

s > 1 C o n v e r g e s = 1 D i v e r g e s < 1 D i v e r g e

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