Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Questão 2) Determine a função que representa o cone circular reto da figura:

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que determinar uma função que descreve um cone como descrito na figura.

A ideia é curta, mas será que é simples? 🤔

Primeiro de tudo temos que analisar a o gráfico da figura, assim podemos concluir três coisas: a primeira é que o cone é voltado com a boca para baixo, ou seja, quanto menor o valor de z , maior é o seu raio.

A segunda coisa é que quando z = 0 é formado uma circunferência de raio 3 .

E por último, quando x e y são iguais a 0 , z é igual a 4 , atingindo o maior valor para o gráfico.

A gente precisa tomar essas conclusões pra poder formular a nossa função!

Bora lá? 😁

Passo 2

A função z que descreve um cone qualquer com o bico voltado para cima, é

z = - x 2 + y 2

Lembra das três observações que fizemos no passo 1. Vamos verificar se essa equação bate com elas.

A primeira dela já foi satisfeita quando acrescentamos o sinal negativo na raiz, isso mostra que a concavidade do gráfico é voltada para baixo.

vamos analisar a terceira condição: “quando x e y são iguais a 0 , z é igual a 4

Se fizermos x e y iguais a 0 , temos

z = - 0 2 + 0 2 = 0

Não satisfez nossa condição, então temos que acrescentar um valor no lado direito da função para forçar a dar 4 quando x e y são 0 .

Simplesmente se somarmos 4 , vamos obter

z = - x 2 + y 2 + 4

Vamos verificar novamente? Fazendo x = y = 0

z = - 0 2 + 0 2 + 4 = 4

Pronto! Temos duas de três condições satisfeitas!

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, para a última condição, vimos que quando z = 0 , deve obter uma circunferência de raio 3 , ou seja, devemos obter a equação x 2 + y 2 = 3 2 = 9 .

Vamos verificar se nossa função satisfaz essa condição

z = - x 2 + y 2 + 4 = 0

x 2 + y 2 = 4

Elevando os dois lados ao quadrado pra eliminar a raiz, temos

x 2 + y 2 = 16

Quase conseguimos! Não podemos mexer no 4 da função, pois ele garante a condição que vimos anteriormente.

Então o que podemos fazer é acrescentar um fator multiplicativo k na raiz, veja só

z = - k x 2 + y 2 + 4

Fazendo z = 0 , temos

0 = - k x 2 + y 2 + 4

k x 2 + y 2 = 4

Passando o k para o outro lado dividindo e elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos

x 2 + y 2 = 4 k

x 2 + y 2 = 16 k 2

Assim, vemos que 16 k 2 tem que ser igual a 9 , ou seja

16 k 2 = 9 → k 2 = 16 9

Tirando a raiz dos dois lados, temos

k = 4 3

Assim a gente define a função que descreve o gráfico da figura como

z = - 4 3 x 2 + y 2 + 4

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

z = - 4 3 x 2 + y 2 + 4

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