Exercícios Resolvidos de Torque

Torque

Um anel de raio R = 1 m tem massa M = 10 k g distribuída uniformemente. Ele é posicionado no plano horizontal, de modo que o eixo z seja vertical e apontando pra cima, e atravesse o seu centro de massa. O anel gira com aceleração angular α = 5 π 4 r a d / s 2 z ^ . No instante t = 0 , ele apresenta velocidade angular ω → 0 = - 2 π r a d / s   z ^ .

  1. Faça um desenho mostrando os vetores velocidade angular no instante t = 0 e a aceleração angular do anel, viso de cima, em t = 0 . Indique se o disco gira no sentido horário ou anti-horário.
  2. Em que instante o anel terá girado uma revolução completa?
  3. Em que instante o anel para momentaneamente?
  4. Calcule o momento de inércia do anel em relação ao eixo z .
  5. Qual deve ser o torque(módulo, direção e sentido) aplicado ao anel necessário para o movimento descrito?

Passo 1

a):

Bom galera, o que determina o sentido de rotação desses vetores são os seus sinais no eixo z . Depois que a gente sabe ora onde eles apontam, a gente usa a regra da mão direita pra descobrir o sentido de rotação:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que uma revolução completa é igual a 2 π . Utilizando a equação de Torricelli para descobrir a velocidade angular ao terminar a revolução completa:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α Δ θ  

ω 2 = - 2 π 2 + 2.5 π 4 . 2 π = 9 π 2

ω = 3 π

Aplicando agora a seguinte fórmula:

ω = ω 0 + α t

3 π = - 2 π + 5 π 4 . t

t = 4 s

Logo, t = 4 s  

Passo 3

c):

O que acontece com a velocidade angular quando o anel para momentaneamente?

Ela torna-se zero, não é mesmo?

Então podemos usar a função da velocidade:

ω = ω 0 + α t

Então, nesse tempo t ' :

0 = ω 0 + α t ' → t ' = - ω 0 α = - - 2 π 5 π 4 = 8 5 s

Passo 4

d):

Aqui a gente vai ter que usar definição de momento de inércia a partir da integral:

I = ∫ r 2 d m

Show? Beleza, mas como resolver esse integral maluca ae?

Bem, como é um anel, o raio é sempre o mesmo. Assim, r 2 é uma constante e sai da integral:

r = R

I = R 2 ∫ d m = R 2 M = M R 2 = 10.1 2 = 10   k g . m 2

Passo 5

e):

Beleza, ele tá pedindo o torque externo. Mas como você já sabe a aceleração angular do anel e o momento de inércia, fica muito fácil pois é só usar a equação:

τ → = I α → = 10 . 5 π 4   z ^ = 25 π 2   N . m   z ^ = 12,5 π   N . m z ^

Resposta

a):

b):

t = 4 s

c):

t = 8 5 s

d):

I = 10   k g . m 2

e):

τ → = 12,5 π   N . m z ^

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