Exercícios Resolvidos de Torque

O objeto ilustrado na figura ao lado pode girar livre em torno do eixo fixo z . Ele é composto 6 por hastes finas. As 2 hastes ao longo dos eixos x e y têm, cada uma, comprimento 2 L e massa M e estão presas pelo seu seu centro de massa ao eixo de rotação. As 4 hastes inclinadas têm, cada uma, a mesma massa M . Em determinado instante ( t = 0 ) , a força F A → de módulo F na direção horizontal é aplicada no ponto A   conforme mostra a figura. No mesmo instante, outra força F C → de módulo 2 F e com a inclinação igual a inclinação da haste B C é aplicada no ponto C .

a) Mostre que o momento de inércia do objeto em torno do eixo z é dado por I = 10 M L 2 3 .

b) Escreva os vetores r → e F → necessários para calcular o torque em torno do eixo z provocado pela força aplicada em C , em t = 0 . Calcule o produto vetorial e encontre τ C → .

c) Calcule o torque τ A → em torno do eixo z provocado pela força aplicada em A , em t = 0 .

d) Calcule a aceleração angular α → do objeto neste instante.

e) Suponha agora que, para impedir o objeto de girar, uma terceira força é aplicada na direção horizontal no ponto B , em t = 0 . Determine esta forca F B → .

f) Se ao invés da força aplicada no item anterior, a força em B for F B → = 2 F   î   - 2 F   j ^ . Calcule a força F e i x o → que o eixo faz no objeto para que este fique em equilíbrio estático.

Passo 1

a)

Vamos lá. A questão ta pedindo pra gente calcular o momento de inércia daquele conjunto de hastes em relação ao eixo z .

É dado o momento de inércia de uma haste em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa:

I C M   h a s t e = m l 2 12

O I o b j e t o vai ser a soma dos momentos de inércia de cada haste.

I o b j e t o = I A D + I D B + I B C + I C A + I A B + I C D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O momento de inércia das barras maiores, AB e CD, são iguais porque elas têm mesma massa M e comprimento 2L. O eixo passa pelo centro de massa, então a gente calcula assim:

I A B = I C D = M 2 L 2 12

Esses foram tranquilos, né? Vamos ver as outras hastes agora!

Passo 3

Essas outras hastes são diferentes, certo? Porque o eixo de rotação não passa no centro de massa delas. Aí a gente não pode usar a fórmula conhecida .Mas sem desespero...A gente ajeita isso daí rapidinho com o Teorema dos Eixos Paralelos.

I n o v o = I C M   h a s t e + M d 2

Lembrando que esse d é a distância entre o centro de massa da haste e o nosso eixo de rotação z.

Olha, destaquei no desenho o d:

Olha que showww: Todas as hastes pequenas (AD, DB, BC e CA) estão a mesma distância do eixo de rotação. Então esse d = L 2 2 vale pra todo mundo.

Olha que show ainda mais: todas as barras pequenas tem mesma massa M e mesmo comprimento L. Então o momento de inércia delas são iguais.

I A D = I D B = I B C = I C A      

Maravilha, vamos usar o teorema dos eixos paralelos e descobrir o I n o v o de uma dessas hastes, aí já vai ser igual ao das outras:

I n o v o   A B = M ( L 2 ) 2 12 + M L 2 2 2

I n o v o   A B = 2 M L 2 3

Pronto! Agora já podemos descobrir o I o b j e t o .

I o b j e t o = I A D + I D B + I B C + I C A + I A B + I C D

I o b j e t o = 4 2 M L 2 3 + 2 M 2 L 2 12

I o b j e t o = 10 M L 2 3

Passo 4

b)

Agora queremos calcular o torque causado pela força C.

τ C → = r c → × F C →

O r c →   é o vetor do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força. Então, quem é esse vetor?

Maravilha! Vamos ver quem é a F C → .

Ih caramba..Ela está meio inclinada. Vamos ter que decompor em suas componentes nos eixos x e y.

Pô..vou ter que pensar em ângulo ainda?

Olha só, isso ele “deu” pra gente. Porque todas as hastes tem o mesmo comprimento L. Então o objeto é quadrado.

Agora é só decompor:

F c → = F c → cos ⁡ 45   - î + F c → s e n   45   ( j ^ )

O enunciado fala que F c → = 2 F , então:

F c → = - F î + F ( j ) ^

O exercício ainda pede pra gente calcular o torque, mas com o r c →   e F c → é tranquilo.

Passo 5

Jogando tudo na relção do passo 4

τ C → = r c → × F C →

τ C → = L - î × - F î + F j ^

τ C → = - L F k ^

Passo 6

c) Mesmo esquema da letra b, só que agora é em relação ao ponto A e a F A → .

Olha que linda essa F A → ! Não precisa ser decomposta em componentes. Lembrando que o módulo de F A → = F

F A → = F ( î )

Então o torque τ A →   vale:

τ A → = r A → × F A →

τ A → = L j ^ × F î

τ A → = L F   ( - k ^ )

Maravilha, vamos pra próxima.

Passo 7

d)

O torque é uma grandeza que a intensidade que faz o corpo girar. Então, como a gente já calculou o torque nas letras b e c, o corpo tá girando. Então tem uma aceleração angular, certo?

Vamo calcular ela agora! Acompanha comigo:

τ → = I α →  

Ele quer a aceleração angular do objeto, então é o momento de inércia do objeto, que a gente calculou na letra a. E o torque? É o torque em todo o objeto! Ou seja, τ A → + τ C → .

Beleza?

Mãos à obra

Passo 8

τ T → = I o b j e t o α →

- 2 L F k ^ = 10 M L 2 3 α →

α → = - 3 F 5 M L ( k ^ )

Show?

Passo 9

e)

Então o nosso objeto tava girando lá, aí a gente quer agora aplicar uma força horizontal no ponto B pra fazer com que o objeto pare de girar.

Primeira coisa, em que sentido o objeto tá girando?

Como que a gente descobre isso? Regra da mão direita. A aceleração angular tá em - k ^ , então aponta o teu dedão pra essa direção e gira a mão. Esse é o sentido.

Sentido horário, confere?

Então se eu quiser saber uma força que faça esse giro parar, eu tenho que aplicar uma força que provoque uma rotação no sentido contrário. Olha só:

Vamos descobrir quem é essa F B →

Passo 10

Se não gira, não tem torque! Então: τ T → = τ A → + τ C → + τ B → = 0

τ A → + τ C → = - τ B →

- 2 L F k ^ = - r B → × F B → 2 L F k ^ = r B → × F B →

Opa! Apareceu a força que queremos! Como a força tá na horizontal (o enunciado fala isso), sabemos que a direção dela é î .

O r B → = - L y ^ . Mesmo esquema que fizemos antes.

2 L F k ^ = - L y ^ × F B î

2 L F k ^ = - L F B ) ( y ^ × î

2 L F k ^ = - L F B ) ( k ^

Então, cancelando os termos iguais:

F B = 2 F

Vamos escrever a forma vetorial:

F B → = 2 F   î

Aee...vamo pra última!!

Passo 11

f)

Agora q gente tem que descobrir a força que o eixo de rotação faz no objeto pra que ele fique em equilíbrio estático. Isso é tranquilo! É a condição:

Σ F X = 0

Σ F Y = 0

Só isso..viu? tranquilão

Então, vamo lá. Quem são as forças em X:

F A X + F B X + F C X + F e i x o X = 0

Quem são as forças em Y?

F A Y + F B Y + F C Y + F e i x o Y + P H A S T E S = 0

Isso aqui são os dados que a gente tem:

F A → = F î

F B → = 2 F î - 2 F y ^

F C → = - F î + F y ^

P H A S T E = M g

F e i x o → = ? ? ? ?

Agora é so substituir os dados quem está na direção X e quem está na direção Y.

F A X + F B X + F C X + F e i x o X = 0

F + 2 F - F + F e i x o X = 0

F e i x o X = - 2 F

F A Y + F B Y + F C Y + F e i x o Y + P H A S T E S = 0

0 - 2 F + F + F e i x o Y + 6 M g = 0

F e i x o Y = F - 6 M g

Ajeitando pra uma grandeza vetorial:

F e i x o → = - 2 F   î + ( F - 6 M g ) y ^

Maravilha!

Resposta

a) Demonstração

b)

r C → = - L i ^

F c → = - F î + F ( j ) ^

τ C → = - L F k ^

c)

r A → = L y ^

F A → = F ( î )

τ A → = L F   ( - k ^ )

d) α → = - 3 F 5 M L ( k ^ )

e) F B → = 2 F   î

f) F e i x o → = - 2 F   î + ( F - 6 M g ) y ^

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