Exercícios Resolvidos de Torque

Energia Potencial e Conservação de Energia, Rotação, Dinâmica de Rotação

Um fio ideal se encontra enrolado em torno de um cilindro maciço de massa M e raio R e não desliza sobre o cilindro. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal fixo, sendo M R 2 / 2 seu momento de inércia em relação a esse eixo. O fio passa por uma polia de massa desprezível. A outra extremidade do fio está amarrada a uma bola de borracha de massa m , de raio desprezível, que se encontra inicialmente em repouso a uma altura H do solo, como mostra a figura.

Considere que: os fios são ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resistência do ar é desprezível; a gravidade tem módulo g conhecido.

Supondo que o fio se encontre inicialmente esticado e a bola colida elasticamente com o solo, determine:

a) o módulo v da velocidade com que a bola colide com o solo;

b) o módulo T da tensão no fio no instante imediatamente anterior à colisão da bola;

Passo 1

a)

Vamos considerar o sistema cilindro+polia+bola. Mas como a massa da polia é desprezível, na prática vai ser o sistema cilindro+bola.

Os atritos são desprezíveis, então podemos aplicar a conservação da energia mecânica!

E m i = E m f ,

E m i   sendo a energia mecânica inicial e E m f a energia mecânica no momento da colisão com o solo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Inicialmente, a bola está em repouso, então a energia mecânica do sistema é igual à energia potencial gravitacional da bola:

E m i = m g H

Obs: não vamos considerar a energia potencial gravitacional do cilindro porque ele fica parado na mesma altura, então não serviria pra nada. Se a gente acrescentar essa energia na E m i e na E m f poderíamos simplesmente cortá-la dos 2 lados depois.

Passo 3

Já na hora da colisão, temos que considerar não só a energia cinética de translação K t r a n da bola, mas também a energia cinética de rotação K r o t do cilindro:

K t r a n = 1 2 m v 2

K r o t = 1 2 I ω 2 ,

sendo I = M R 2 / 2 o momento de inércia do cilindro.

Passo 4

Também temos a relação

v = ω R ⇒ ω = v R

Então vamos ter

K r o t = 1 2 ∙ M R 2 2 v R 2 = M R 2 v 2 4 R 2 = 1 4 M v 2

Passo 5

Então a energia mecânica do sistema no instante da colisão é:

E m f = K t r a n + K r o t = 1 2 m v 2 + 1 4 M v 2

⇒ E m f = v 2 m 2 + M 4

Passo 6

Show! Então a equação de conservação da energia é:

E m i = E m f

⇒ m g H = v 2 m 2 + M 4

⇒ v 2 = m g H m 2 + M 4

Passo 7

Vamos simplificar a fração do lado direito multiplicando por 4, no numerador e no denominador:

v 2 = 4 m g H 2 m + M

⇒ v = 4 m g H 2 m + M

⇒ v = 2 m g H 2 m + M

Passo 8

b)

As forças atuando na bola são a tensão do fio T → (a qual queremos achar o módulo), apontando pra cima, e o próprio peso P → da bola, apontando pra baixo:

Passo 9

Então, pela 2ª lei de Newton, na bola:

T → + P → = m a → ,

a → sendo a aceleração da bola.

Como a bola está descendo, em módulo a equação vai ser:

- T + P = m a

⇒ T = P - m a

⇒ T = m g - m a = m g - a

E substituindo a = α R , isso dá:

T = m g - α R

Passo 10

Agora vamos dar uma olhada no cilindro.

As forças agindo nele são seu peso P → c e a tensão do fio T → c :

Passo 11

Como a força peso age diretamente no centro do cilindro, onde passa o eixo de rotação, ela não realiza torque em relação a esse eixo: só a tensão faz torque!

Então o torque resultante τ → r e s agindo no cilindro é igual ao torque τ → T c da tensão:

τ → r e s = τ → T c

Passo 12

O torque realizado pela força de tensão no fio é:

τ → T c = r → × T → c

⇒ τ → T c = R j ^ × T c î

⇒ τ → T c = R T c - k ^

E como os fios são ideais, essa tensão T → c tem o mesmo módulo T da tensão que age na bola!

Ou seja,

τ → T c = R T - k ^

Passo 13

E, pela versão pra rotação da 2ª lei de Newton,

τ → r e s = I α →

Ou seja,

τ → T c =   R T - k ^ = I α →

O que, em módulo, dá:

R T = I α

Passo 14

Vamos substituir I = M R 2 / 2 :

R T = M R 2 α 2

⇒ T = M R α 2

Passo 15

E antes a gente achou:

T = m g - α R

Ou seja,

M R α 2 = m g - α R

Passo 16

A única variável que a gente não conhece aí é a α , então vamos isolá-la:

⇒ M R α 2 m = g - α R

⇒ M R α 2 m + α R = g

⇒ α M R 2 m + R = g

⇒ α = g R M 2 m + 1

Passo 17

Show! Agora vamos substituir essa α na equação

T = M R α 2 ,

o que dá:

T = M R 2 ∙ g R M 2 m + 1

⇒ T = M R g 2 R M 2 m + 1

⇒ T = M g M m + 2

Esse é o módulo da tensão no fio logo antes da colisão! Mas tá meio feio, então podemos multiplicar em cima e em baixo por m :

T = M m g M + 2 m

Resposta

a)

v = 2 m g H 2 m + M

b)

T = M m g M + 2 m

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