Exercícios Resolvidos de Torque

Momento Angular, Rotação, Dinâmica de Rotação

Num experimento de momento angular mostrado na foto ao lado, um anel é colocado em contato com uma mesa giratória, de tal maneira que o eixo do anel coincida com o eixo de rotação da mesa (colisão angular inelástica). Antes do contato com o anel, a mesa girava com velocidade angular decrescente por causa do atrito com os rolamentos. Durante o experimento, a velocidade angular variou conforme ilustrado no gráfico.

Assuma que:

- o anel possui o mesmo momento de inércia   I que o da mesa giratória em relaçao àquele eixo de rotação,

- a força de atrito entre os rolamentos e a mesa giratória é constante durante todo o movimento.

Expresse todas as suas respostas em função de I   e dos dados do gráfico.

a) Calcule o torque da força de atrito entre os rolamentos e a mesa giratória

b) Calcule a energia cinética total do sistema anel-mesa logo antes da colisão ( t = 1,9   s ) e

logo depois que o anel e a mesa começam a girar com mesma velocidade angular ( t = 2,4   s ).

c) Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e os rolamentos durante o intervalo

de tempo de 1,9 s a 2,4 s.

d)Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e o anel durante o intervalo de

tempo de 1,9 s a 2,4 s.

Passo 1

a)

Nessa questão a gente tem que focar bem no gráfico para poder extrair a maior quantidade de dados possíveis. Como ele ta pedindo o torque τ , podemos usar duas relações, a que o gráfico nos der a gente usa.

Sabemos que o torque pode ser calculado por τ = F . d . s e n θ ou τ = I . α .

De fato ele não falou nada sobre forças, apenas que elas existiam, mas não quantificou nada. Em contrapartida ele nos deu o I e no gráfico tem como achar o α de boa, então é bem melhor usar a segunda relação.

Como? Simples!

α = ∆ ω ∆ t = ω f - ω i t f - t i

Pelo gráfico a gente vê que na primeira descida esses valores serão:

α = 2 2 0 - 2 8 0 1,9 - 0,4

E daí achamos o α :

α = - 60 1,5 = - 40   r a d / s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula do torque e pa-bum!

τ = I . - 40 r a d s 2 = - 40 I . r a d / s 2

Passo 3

b)

Questão bem simples também, basta olhar no gráfico quais os dados que precisamos. Sabemos todos que a fórmula da energia cinética para rotação é:

K = I ω 2 2

Nosso K i poderá ser calculado com o ω i ,   certo?

Lá no gráfico a gente vê que o ω i = 220   r a d / s

Substituindo na fórmula e claro, deixando em função de I já que ele não deu nenhum valor, vai ficar:

K i = I . 220 2 2 = 24200 I s 2 = 2,42.10 4   r a d 2 / s 2

Já o K f a gente usa o ω f , que vai ser ω f = 100 r a d / s . Só que dessa vez o momento de inércia vai ser o dobro, pois a peça agora vai estar acoplada, ambas com a mesma velocidade. Usando a fórmula, teremos:

K f = 2 2 . 100 2 . r a d 2 s 2 = 10 4 . r a d 2 / s 2

Passo 4

c)

Sabemos que o trabalho na rotação pode ser calculada por:

W = τ . ∆ θ

“Abrindo” mais as contas, a gente vai ter:

W = I . α . ∆ θ

Lá da cinemática de rotação a gente já viu que...

∆ θ = ω o t + α t 2 2

Tacando isso na fórmula do trabalho, vamos ter:

W = τ . ω o ∆ t + α ∆ t 2 2

Passo 5

Como já calculamos lá no Passo 1, o α será:

α = ∆ ω ∆ t = ω f - ω i t f - t i = 100 - 220 2,4 - 1,9 = - 120 0,5 = - 240 r a d / s 2

Como nosso ω o = 220 r a d / s , ∆ t = 0,5 s e τ = - 40 I / s ^ 2 como a gente viu na letra a.

Substituindo tudo, teremos:

W m e s a - R o l . = - 40 I . 220.0,5 - 240 . 0,5 2 2 = - 3200 I J

Passo 6

d)

Já que a gente já sabe quanto vale o W M e s a - R o l . , podemos achar o W M e s a - a n e l .Toda a energia dissipada entre entre t = 1,9 s e t = 2,4 s será o ocasionado pelo atrito, seja entre a mesa e o anel e a mesa e o rolamento. Dessa forma podemos fazer:

W t o t a l = W M e s a - R o l . + W M e s a - a n e l

Mas lááá do Teorema do Trabalho-Variação Energia Cinética, a gente pode tirar a relação:

W = ∆ K

O nosso ∆ K por sua vez, será a diferença entre a energia cinética final e inicial, escrita por:

K f - K i = I ω f 2 2 - 2 I ω o 2 2 = I . 10 4 - I . 2,42.10 4 = - I . 1,42.10 4 J

Assim, o τ M e s a - a n e l será...

- I . 1,42.10 4 J = - I . 0,32.10 4 J + W M e s a - a n e l

Looooogo:

W M e s a - a n e l = - I . 1,1.10 4 J

Resposta

  1. τ = - 40 I . r a d / s 2
  2. K i = 2,42.10 4 I / s 2 ; K f = 10 4 I / s 2
  3. W m e s a - R o l . = - 3200 I J
  4. τ M e s a - a n e l = - I . 1,1.10 4 J

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