Exercícios Resolvidos de Torque

UNICAMP – Física 1 2019.2 – Exame – Questão 2

Um bloco de inércia m 1 sobre uma rampa sem atrito está preso a um barbante fino. O barbante passa por uma polia e está preso a uma massa pendurada m 2 . A rampa está inclinada com um ângulo de θ acima da horizontal.

  1. Considerando a polia ideal e sem atrito, determine o valor de m 2 que faz o sistema se mover de forma que o bloco de inércia m 1 suba a rampa com velocidade constante.
  2. Considerando agora que a polia é um disco com inércia M = 2 m 1 e raio R , determine o valor de m 2 que faz o sistema se mover e forma que o bloco de inércia m 1 suba a rampa com aceleração a = g / 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? A primeira coisa que vou falar dessa questão é que a rampa é sem atrito! Então podemos esquecer (só um pouquinho hihihi) eu existe a força de atrito, ok?

No item (a) o problema quer saber o valor da massa m 2 , aquela está pendurada, que faz o sistema se mover de forma que o bloco de inércia m 1 suba a rampa com velocidade constante. A expressão chave aqui é velocidade constante. Se o sistema todo vai estar com velocidade constante, isso significa que não haverá força resultante no sistema!

Beleza?

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Passo 2

Já sabemos, de outros carnavais, que a força que puxa o bloco que está na rampa pra baixo é a componente horizontal do peso e ele está relacionado com a inclinação θ da rampa:

p x = m 1 g s e n θ

E essa força será igual à tensão no fio!

T = m 1 g s e n θ

Já para o bloco pendurado, temos apenas a força peso agindo, então temos:

p 2 = m 2 g

E é igual em módulo à tensão na corda:

T = m 2 g

Como a corda é a mesma nesse sistema, então podemos usar essas duas expressões e eliminar a tensão:

m 1 g s e n θ = m 2 g

E simplificando temos:

m 2 = m 1 s e n θ

Pronto! Como o problema não nos deu os valores das massas e nem da inclinação, a resposta fica essa aí mesmo! =D

Vamos resolver o item (b)?

Passo 3

No item (b) o problema nos diz que a polia é um disco, sendo assim temos que relembrar da fórmula do momento de inércia de um disco:

I = M R 2 2

E agora as tensões não serão mais iguais, mas calma! Vamos ter outras equações para eliminar essas tensões das nossas vidas =P

Agora precisamos equacionar não só os blocos, como também a polia! Devemos lembrar também que agora o sistema não está mais em equilíbrio, mas sim com uma aceleração positiva (para o bloco m 1 ) de valor g / 2 . Vamos começar pelos blocos que a gente já estava acostumada. Vou fazer um diagrama de corpo livre pra gente entender melhor:

No bloco sobre a rampa temos duas forças: tensão T 1 e puxando pra baixo a componente horizontal do peso m 1 g s e n θ . E essas duas forças devem ser capaz de fazer com que esse bloco suba a rampa com uma aceleração de a = g / 2 , então vamos equacionar isso. Usando a segunda lei de Newton temos:

T 1 - m 1 g s e n θ = m 1 g 2

Agora vou fazer isso também para o bloco que está pendurado. Saca só: nele estão agindo a tensão e o peso também, e como o sistema está se movimentando todo em conjunto, a aceleração dele também é g / 2 (mas agora o sentido positivo é pra baixo), assim aplicando de novo a lei de Newton temos:

m 2 g - T 2 = m 2 g 2

Agora vou somar essas duas equações, deixando as tensões de um lado e as massas e outros fatores do outro:

[ T 1 - m 1 g s e n θ ] + m 2 g - T 2 = m 1 g 2 + m 2 g 2

T 1 - T 2 = m 1 + m 2 g 2 + m 1 g s e n θ - m 2 g

Passo 4

Ta, e agora? Calma! Temos ainda que olhar pra polia com mais carinho! Ela tem momento de inércia, não tem? Então ela contribui também para o movimento! A tensão T 2 gera um torque positivo nela, enquanto que a tensão T 1 , negativo. Essa diferença de torques aplicados nela gera uma aceleração angular α = a / R , que podemos escrever em termos da aceleração linear ( a = g / 2 ) e do raio da polia!

Lembra que o torque é o produto da força pelo braço de alavanca! Nesse caso, a força é a tensão e o braço de alavanca é o próprio raio da polia =)

Assim, aplicando a segunda lei de Newton para as rotações na polia temos:

T 2 - T 1 R = I α

T 2 - T 1 R = M R 2 2   a R

T 2 - T 1 = 2 m 1 2 . g 2

T 2 - T 1 = m 1 g 2

Olha só que legal! Agora temos uma expressão para a diferença de tensões! Exatamente o que não sabíamos na expressão ali em cima!

Agora é só substituir:

T 1 - T 2 = m 1 + m 2 g 2 + m 1 g s e n θ - m 2 g

T 2 - T 1 = m 1 g 2

Aqui só cuida o sinal tá!

- m 1 g 2 = m 1 + m 2 g 2 + m 1 g s e n θ - m 2 g

Podemos cancelar g em todos os fatores e é só trabalho braçal:

- m 1 2 = m 1 2 + m 2 2 + m 1 s e n θ - m 2

m 2 - m 2 2 = m 1 2 + m 1 2 + m 1 s e n θ

m 2 2 = m 1 + m 1 s e n θ

m 2 2 = m 1 1 + s e n θ

m 2 = 2 m 1 ( 1 + s e n θ )

Ufa! Acabou! Tranquilo? Toma um suco e borá pra próxima questão!

=D

Resposta

a )   m 2 = m 1 s e n θ

b )   m 2 = 2 m 1 ( 1 + s e n θ )

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