Exercícios Resolvidos de Torque

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Na preparação para um salto com vara, o atleta ilustrado abaixo mantém a vara em equilíbrio estático na posição horizontal. Para isto ele faz numa extremidade da vara, posição A, uma força na vertical para baixo igual a F → A e na posição B uma força na vertical para cima igual a F → B . A vara tem comprimento igual a 5,0 𝑚 e massa 3,0 𝑘𝑔.

a) Calcule o momento de inércia rotacional da vara em relação ao eixo que passa pelo ponto B na direção do eixo z .

b) Determine as forças F → A e F → B .

c) Suponha agora que em 𝑡 = 0 o atleta solte a vara na posição B e mantenha firme a posição A, de forma que a vara possa girar livremente em torno da posição A no plano x y em direção ao chão. Calcule o módulo da aceleração angular da barra neste instante.

d) Calcule a velocidade angular da barra ω → quando o deslocamento angular for igual a - 30 o .

Passo 1

a)

Não se confunda com o “rotacional”, basicamente o que ele pediu é o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo ponto B na direção do eixo z .

Parece uma boa pedida pra usar o teorema dos eixos paralelos, né?? :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro precisamos do momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo seu centro. E isso, se você não souber...não faz problema! Pois é, ele dá nos dados

I c m   h a s t e = 1 12 M l 2

A vara é a haste, com massa M = 3   k g e comprimento l = 5   m . Logo,

I c m   v a r a = 1 12 ∙ 3 ∙ 5 2 = 25 4   k g m 2

Passo 3

Show, agora é só aplicar o teorema dos eixos paralelos!

I B = I c m + M d 2 ,

d sendo a distância entre o centro da vara e o ponto B. A vara tem 5   metros, então o seu centro está a 2,5   m das extremidades. E o ponto B está a 0,75   m da extremidade esquerda. Ou seja, a distância d é:

d = 2,5 - 0,75 = 1,75 = 7 4 m

Passo 4

Substituindo na fórmula:

I B = I c m + M d 2

⇒ I B = 25 4 + 3 7 4 2 = 100 16 + 3 49 16

⇒ I B = 100 + 3 ⋅ 49 16 = 100 + 147 16

⇒ I B = 247 16 ≈ 15,4   k g ⋅ m 2

Passo 5

b)

Agora queremos achar F → A e F → B , e pra isso uma boa é analisar todas as forças atuando na vara. Na verdade, além da F → A e da F → B , só tem a força peso p → . E ela atua bem no meio da vara, que é onde fica o centro de massa.

Passo 6

Temos 3 forças capazes de realizar torque, por isso, por mais que a barra esteja em equilíbrio, temos uma dinâmica de rotação. Vamos considerar o eixo passando pelo ponto A como eixo de rotação da vara.

Obs: Poderíamos escolher qualquer ponto da barra, mas é bom pegar um onde uma força está sendo aplicada, além do mais se for uma força que a gente quer achar!

Enfim, isso significa que a força F → A está sendo aplicada diretamente no eixo de rotação, então o torque dela é nulo!

τ → F → A = 0

Passo 7

E a barra está em equilíbrio, portanto o torque no sentido horário e o torque no sentido anti-horário se cancelam!

E olhando a figura, podemos ver que p → realiza torque no sentido horário, enquanto o torque da F → B é no sentido anti-horário (tudo isso em relação a A).

τ → F → B - τ → p → = 0

Ou, em módulo:

τ F → B - τ p → = 0

Por mais que a gente queira achar as forças vetoriais, é mais fácil fazer as contas com os módulos e depois voltar pra vetor, tranquilo?

Passo 8

Lembrando que

τ → = r → × F →

⇒ τ = r → ⋅ F

Então vamos calcular o módulo desses torques! Temos que multiplicar a distância ao eixo de rotação (ponto A) pelo módulo da força:

τ F → B = 0,75 F B   N ⋅ m

τ p → = 2,5 M g

Como M = 3   k g e g = 10   m / s 2 :

τ p → = 2,5 ⋅ 3 ⋅ 10 = 75   N ⋅ m

Passo 9

Show, então voltando pro que achamos antes:

τ F → B - τ p → = 0

⇒ 0,75 F B - 75 = 0

⇒ 0,75 F B = 75

⇒ F B = 75 0,75 = 100   N

Agora vamos voltar pra forma vetorial. Sabemos que F → B é pra cima, no sentido do eixo y , portanto:

F → B = 100   N   j →

Passo 10

Ok, agora só falta achar a F → A . Pra isso, vamos deixar a rotação de lado e voltar à nossa boa e velha análise de forças :)

A vara está em equilíbrio, então o somatório de forças nela dá zero:

F → A + F → B + p → = 0

⇒ F → A + 100 j → + M g → = 0

M = 3   k g e g → = 10 - j → = - 10 j → então:

F → A + 100 j → - 30 j → = 0

⇒ F → A = 30 j → - 100 j →

⇒ F → A = 70   N   - j →

Passo 11

c)

Agora o atleta soltou a vara na posição B e manteve firme a posição A onde estava. E o enunciado pediu o módulo da aceleração angular da vara. Parece ideal pra gente usar a relação entre torque resultante e aceleração angular:

τ r e s = I c m ⋅ α

Se a rotação fosse em torno do centro de massa, o problema já estaria praticamente resolvido, mas ela é em torno do ponto A. Mas podemos adaptar a fórmula sem problemas pro ponto A:

τ r e s = I A ⋅ α

Então temos que achar o momento de inercia I A da vara em relação a A!

Passo 12

Aplicando o teorema dos eixos paralelos:

I A = I C M + M d 2

onde d é a distância entre o ponto A e o centro de massa, ou seja, d = 2,5 = 5 2   m .

E já achamos lá na letra (a) que I c m = 25 4   k g ⋅ m 2 . Então vamos ter

I A = 25 4 + 3 5 2 2

⇒ I A = 25 + 3 ⋅ 25 4 = 100 4 = 25   k g ⋅ m 2

Passo 13

Ótimo! Então

τ r e s = I A ⋅ α = 25 α

E esse torque resultante dá pra gente achar! Já que não tem mais a F → B , a única força realizando torque em relação ao ponto A é a força peso:

τ r e s = τ p → = 2,5 M g = 2,5 ⋅ 3 ⋅ 10 = 75   N ⋅ m

Agora é só partir pro abraço!

τ r e s = 75 = 25 α

⇒ α = 75 25 = 3   r a d / s 2

Passo 14

d)

Agora queremos a velocidade angular da barra ω → quando o deslocamento angular for igual a - 30 o . Seria mais ou menos assim:

Ele falou - 30 o porque são 30 o rodados no sentido horário, só isso! Então podemos botar 30 o mesmo :)

Passo 15

Com essa velocidade angular ω → , a vara adquire uma energia cinética de rotação. Então podemos tentar aplicar a conservação da energia mecânica!

As únicas forças atuando são a força peso, que é conservativa, e a força de sustentação do atleta pra manter a barra no lugar. Essa força não faz o sistema perder energia, portanto ela também é conservativa! Então podemos aplicar a conservação da energia mecânica:

E m i = E m f

⇒ K i + U i = K f + U f ,

K sendo a energia cinética e U a energia potencial gravitacional.

É importante notar que o movimento é uma rotação pura, sem translação, então a energia cinética total é igual à energia cinética de rotação.

Passo 16

A energia cinética de rotação é dada por

K r o t = 1 2 I ω 2

No caso do exercício, a rotação é em relação ao ponto A, então:

K r o t = 1 2 I A ω 2

E como eu disse antes, a energia cinética total é igual à energia cinética de rotação, portanto:

K = 1 2 I A ω 2

Substituindo I A = 25   k g ⋅ m 2 isso dá:

K = 25 2 ω 2

Passo 17

Agora , antes de mais nada, temos que definir um zero de energia potencial gravitacional. Ela se escreve da forma U = m g h . Então esse h a gente tem que saber em relação ao quê vai ser! Seria bom a gente escolher algo que facilite as contas, dando U f = 0 por exemplo. Então vamos fazer isso!

Resta a saber qual vai ser a altura h da barra na posição inicial, em relação a esse zero de energia potencial gravitacional.

Se ficou confuso relaxa que na figura tá bonitinho (eu espero!):

Passo 18

E pra gente achar esse h i vai ser um probleminha de trigonometria tranquilo! Saca só:

Ou seja,

h i = 2,5 sen ⁡ 30 o

⇒ h i = 2,5 ⋅ 1 2 = 1,25   m

Passo 19

Beleza, agora vamos voltar à conservação da energia mecânica:

K i + U i = K f + U f

⇒ 25 2 ω i 2 + M g h i = 25 2 ω f 2 + M g h f

E esse ω f seria o módulo do vetor ω → que o enunciado pediu.

Repare que a barra sai do repouso, no momento inicial sua velocidade angular é nula: ω i = 0 . Também já vimos que: M = 3   k g , g = 10   m / s 2 , h i = 1,25 e h f = 0 . Então isso vai dar:

0 + 3 ⋅ 10 ⋅ 1,25 = 25 2 ω f 2 + 0

⇒ 30 ⋅ 1,25 = 25 2 ω f 2

⇒ 37,5 = 25 2 ω f 2

⇒ 2 25 ∙ 37,5 = ω f 2

⇒ 75 25 = ω f 2

⇒ ω f 2 = 3

Como ω f é o módulo de um vetor, ele é positivo, então

ω f = ω → = 3

Passo 20

Calma que ainda não acabou! Queremos o vetor velocidade angular ω → ! Mas isso vai ser tranquilo, basta lembrar 2 coisas:

  • o vetor velocidade angular é ortogonal à rotação tem o sentido de k → ou - k →
  • o sentido considerado positivo é o sentido anti-horário

Como a nossa rotação é no sentido horário, o vetor velocidade angular aponta pra dentro do plano, na direção do vetor - k → .

Ou seja,

ω → = 3   r a d / s   - k →

Resposta

a)

I B = 247 16 ≈ 15,4   k g ⋅ m 2

b)

F → A = 70   N   - j →

F → B = 100   N   j →

c)

α = 3   r a d / s 2

d)

ω → = 3   r a d / s   - k →

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