Exercícios Resolvidos de Torque

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação, Momento Angular, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

A lança ilustrada abaixo tem comprimento 2 L e massa M . Considere a massa uniformemente distribuída. Ela estaria livre para girar, sem atritos, em torno do seu eixo localizado na extremidade inferior (A), contudo, duas forças a mantém em equilíbrio estático fazendo um ângulo θ com a horizontal. Uma delas tem módulo 4 F , está inclinada de Φ em relação à horizontal e atua no centro de massa da lança (B). A outra força tem módulo F e atua verticalmente para baixo na extremidade superior da lança (C). Utilize g para a aceleração da gravidade.

a) Determine os vetores torque em torno de A, produzidos na lança por cada uma das forças   4 F e F .

b) Suponha agora que as forças 4 F e F parem de atuar e a lança começa a girar pela ação da força da gravidade. Determine o valor da aceleração angular quando ela passar pela posição horizontal.

c) Continuando seu movimento de rotação, a lança passa pela posição vertical. Determine o valor da velocidade angular nesta posição.

Passo 1

a)

O torque da força 4 F → em relação ao eixo passando pelo ponto A é:

τ → 4 F → = r → × 4 F →

Então vamos ver na figura qual é o braço da alavanca r → :

A força 4 F → está inclinada em relação a r → , então vamos ter que decompô-la, pra uma das suas componentes fazer um ângulo de 90 o com r → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos decompor 4 F → em uma componente 4 F ⊥ , perpendicular a r → , e 4 F ∥ , componente paralela a r → :

O ângulo entre a horizontal e 4 F → é Φ , e o ângulo entre 4 F ∥ e 4 F é θ , então o ângulo entre 4 F ∥ é Φ - θ .

E 4 F ∥ é paralela ao vetor r → , então o ângulo entre r → e 4 F →   também é Φ - θ !

E é justamente desse ângulo entre o braço da alavanca e a força que a gente precisa calcular o torque. Então o seu módulo é dado por:

τ 4 F = r → ⋅ 4 F ⋅ sen ⁡ ( Φ - θ )

Isso se deve ao fato que a componente da força que é paralela ao braço não realiza torque!

Passo 3

A lança tem comprimento 2 L e o ponto B está bem na metade dela, então

r → = L

⇒ τ 4 F = L ⋅ 4 F ⋅ sen ⁡ ( Φ - θ )

E pela regra da mão direita, o vetor torque aponta na direção do vetor k → , logo:

τ → 4 F = 4 F L sen ⁡ ( Φ - θ ) k →

Passo 4

Agora vamos pra força F → !

O seu torque em relação a A é dado por:

τ → F = r → × F →

O raciocínio vai ser exatamente o mesmo que pra força 4 F → : precisamos achar o ângulo entre r → e F → , e o torque vai ser:

τ → F = r → ⋅ F ⋅ sen ⁡ â n g u l o k →

Porque novamente, só a componente da força que é perpendicular ao braço da alavanca é que produz torque.

Passo 5

O vetor posição r → (braço) é:

Olhando a figura, podemos ver que o ângulo que a gente tá procurando, entre r → e F → , é 90 - θ .

Passo 6

Portanto, o torque é:

τ → F = r → ⋅ F ⋅ sen ⁡ 90 - θ k →

Agora o módulo do braço da alavanca é o comprimento todo da lança, 2 L :

r → = 2 L

E o torque é:

τ → F = 2 L F sen ⁡ 90 - θ k →

A gente até poderia deixar assim, mas esse sen ⁡ ( 90 - θ ) dá pra simplificar, então é melhor.

Passo 7

Agora tem que estar com a trigonometria em dia! Vamos ver o que vale sen ⁡ ( 90 - θ ) .

Pra isso uma boa é montar o círculo trigonométrico. Eu sempre faço isso na hora da prova, desenho ele no cantinho da folha.

Vamos ter:

Olhando a figura com carinho, podemos ver, que nem eu botei ali em cima, que

sen ⁡ ( 90 - θ ) = cos ⁡ θ

Passo 8

Logo,

τ → F = 2 L F sen ⁡ ( 90 - θ ) k →

⇒ τ → F = 2 L F cos ⁡ θ k →

Passo 9

b)

Agora as forças 4 F → e F → vão parar de atuar e a lança vai cair. Vamos estudar o momento em que ela passa pela posição horizontal. A questão pediu a aceleração angular da lança nesse instante.

Repare que a única força produzindo torque é a força da gravidade (peso), então

τ r e s = τ g

Nada mais justo que usar a fórmula:

τ r e s = I A α

⇒ τ g = I A α

I A é o momento de inércia da lança em relação ao eixo que passa por A :)

Passo 10

O torque da força da gravidade em relação ao eixo passando por A é:

τ → g = r → × M g →

⇒ τ g = r → M g

A força da gravidade atua no centro de massa da lança, que fica bem no meio dela:

É bom de vez em quando calcular um torque com a força e o r → sendo perpendiculares né! rs

Enfim, vamos ter

r → = L

⇒ τ g = L M g

Passo 11

Só falta calcular o momento de inércia I A da lança em relação ao eixo que passa por A!

O enunciado dá o momento de inércia de uma haste (como nossa lança), em relação ao eixo passando pelo centro de massa:

I c m   h a s t e = 1 12 M L 2

Mas atenção, isso é pra uma massa e um comprimento genéricos M e L . No caso do exercício, a massa da lança realmente é M mas o comprimento é 2 L .

Então

I c m   l a n ç a = 1 12 M 2 L 2 = 1 12 M ⋅ 4 L 2 = 1 3 M L 2

Passo 12

Mas precisamos do momento de inércia em relação ao eixo passando por A. Então vamos aplicar o teorema dos eixos paralelos:

I A = I c m + M d 2 ,

d sendo a distância entre os eixos, que é L .

Ou seja,

I A = 1 3 M L 2 + M L 2 = 4 3 M L 2

Passo 13

Recapitulando, achamos

τ g = I A α τ g = L M g I A = 4 3 M L 2

Juntando tudo, obtemos:

L M g = 4 3 M L 2 α

⇒ α = L M g 4 3 M L 2 = 3 g 4 L   r a d / s 2

Passo 14

c)

A aceleração da lança varia com o tempo, então não podemos usar as equações do movimento circular uniformemente variado. Vamos resolver essa questão usando conservação de energia!

Não há atrito ou outra força não-conservativa atuando na lança, então podemos aplicar a conservação da energia mecânica:

Δ E m = 0

Passo 15

A energia mecânica é a soma da energia cinética K com a energia potencial U . Aqui o movimento é de rotação, então a energia cinética é de rotação ( K r o t ), e a energia potencial é só gravitacional (não tem U elástica), então:

⇒ Δ K r o t + Δ U g = 0

Sendo i o momento inicial, quando a lança é solta do repouso, e f o momento final, quando a lança passa pela posição vertical, isso dá:

K r o t f - K r o t i + U g f - U g i = 0

Mas a lança parte do repouso! Então

K r o t i = 0

⇒ K r o t f + U g f - U g i = 0

Passo 16

A energia cinética de rotação da lança em torno do eixo que passa por A é:

K r o t = 1 2 I A ω 2

⇒ K r o t = 1 2 ∙ 4 3 M L 2 ω 2

⇒ K r o t = 2 3 M L 2 ω 2

Sendo ω f a velocidade angular final da lança, que é o que a gente quer achar nessa questão, temos:

K r o t f = 2 3 M L 2 ω f 2

Passo 17

Agora vamos dar uma olhada na energia potencial gravitacional.

A primeira coisa que temos que fazer é definir uma altura onde a U g vale zero. E a altura mais evidente é a do ponto A, que é a do eixo de rotação. Então vamos fixar h A = 0 , show?

Passo 18

A altura que a gente tem que considerar pra medir a energia potencial gravitacional da lança é a do centro de massa dela, o ponto B.

Vamos começar achando a altura inicial h i do ponto B, quando ela está inclinada.

Olhando a figura com a carinho, e aplicando uma trigonometria básica, obtemos:

h i = L sen ⁡ θ

Então a energia potencial gravitacional inicial é:

U g i = M g L sen ⁡ θ

Passo 19

Agora vamos ver qual é a altura final h f do centro de massa da lança, quando ela está na vertical.

Na verdade, justamente por estar na vertical, e apontando pra baixo, essa altura simplesmente é - L :

Então a energia potencial gravitacional final é:

U g f = M g - L = - M g L

Passo 20

Show! Vamos voltar à equação de conservação de energia mecânica:

K r o t f + U g f - U g i = 0

⇒ 2 3 M L 2 ω f 2 - M g L - M g L sen ⁡ θ = 0

⇒ 2 3 M L 2 ω f 2 = M g L sen ⁡ θ + M g L = M g L sen ⁡ θ + 1

⇒ ω f 2 = M g L sen ⁡ θ + 1 2 3 M L 2 = 3 g sen ⁡ θ + 1 2 L

⇒ ω f = 3 g sen ⁡ θ + 1 2 L   r a d / s

Resposta

a)

τ → 4 F = 4 F L sen ⁡ ( Φ - θ ) k →

τ → F = 2 L F cos ⁡ θ k →

b)

α = 3 g 4 L   r a d / s 2

c)

ω f = 3 g sen ⁡ θ + 1 2 L   r a d / s

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