Exercícios Resolvidos de Torque

Considere agora um disco horizontal de raio R = 1,00   m com quatro hastes conforme a figura ao lado. NÃO é o carrossel do item anterior. Duas pessoas empurram esse disco no sentido anti-horário. Veja a figura abaixo com vista de cima. A força de cada pessoa tem módulo constante F = 120   N , sendo tangente à borda. Não há atrito entre o eixo central e o disco. O sistema disco-hastes tem momento de inércia I C M = 100   k g m 2 .

(b) Calcule a aceleração angular α → do sistema disco-hastes.

Passo 1

Sabe a segunda lei de Newton?

F → R = m a →

O análogo dela para rotação é:

τ → R = I α →

Assim, conseguimos relacionar o vetor torque resultante τ → R com o vetor aceleração angular α → .

Como já temos o momento de inércia desse corpo:

I C M = 100   k g . m 2

Só precisamos encontrar o torque resultante que achamos a aceleração angular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O torque resultante será a soma dos torques de todas as forças externas sobre o objeto:

τ → R = τ → F + τ → F '

OBS: O disco está apoiado sobre o eixo central, logo, as forças peso e normal não geram torque com relação ao eixo central. Além disso, não há atrito.

Passo 3

O torque da força F → será:

τ → F = r → × F →

Como os vetores são perpendiculares, o módulo do torque será:

τ F = r F

τ F = R F

Mas queremos a direção e o sentido do vetor também.

Com a regra da mão direita, temos os dedos indicadores apontados para a direita na direção de r → i ^ e a palma da mão voltada para cima na direção de F → j ^ . Ao fechar os dedos na direção de F → , nosso dedão aponta para cima na direção k ^ .

i ^ × j ^ = k ^

Então, nosso vetor torque é:

τ → F = R F   k ^

Passo 4

O torque da força F ' → será:

τ → F ' = r → × F ' →

Assim como no outro caso, os vetores são perpendiculares, seu módulo também será:

τ F ' = R F

Com a regra da mão direita, temos os dedos indicadores apontados para a esquerda na direção de r → - i ^ e a palma da mão voltada para baixo na direção de F → - j ^ . Ao fechar os dedos na direção de F → , nosso dedão aponta para cima na direção k ^ .

- i ^ × - j ^ = k ^

Então, assim como o outro vetor torque, o torque da força F ' → será:

τ → F ' = R F   k ^

Isso acontece pois as forças são iguais, as distâncias ao eixo de rotação são as mesmas e ambas tentam fazer o objeto rodar no sentido anti-horário. Assim, seus torques são os mesmos.

Passo 5

O torque resultante será:

τ → R = R F   k ^ + R F   k ^

τ → R = 2 R F   k ^

Passo 6

Substituindo na segunda lei de Newton para rotação, temos:

τ → R = I α →

O vetor aceleração angular tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor torque:

2 R F   k ^ = I C M α →

α → = 2 R F I C M   k ^

Substituindo os valores:

α → = 2 1 120 100   k ^

α → = 240 100   k ^

α → = 2,4   r a d / s 2   k ^

Resposta

α → = 2,4   r a d / s 2   k ^

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