Exercícios Resolvidos de Torque

Considere um haltere formado por duas pequenas esferas de massa m , presas por uma barra de comprimento l e massa desprezível. O sistema repousa em uma mesa horizontal sem atrito quando começam a atuar, simultaneamente, duas forças F → 1 e F → 2 de mesmo módulo conhecido F . A força F → 1 atua em uma das esferas, na direção da barra e a força F → 2 atua na outra esfera, em uma direção perpendicular a F → 1 , conforme mostra a figura.

Pode-se afirmar que no instante em que as forças começam a atuar:

(a) O módulo do torque resultante em relação à posição do centro de massa da barra é τ = F l 2 .

(b) O módulo do torque resultante em relação à posição do centro de massa da barra é τ = F l .

(c) O módulo do torque resultante em relação à posição do centro de massa da barra é τ = 2 F l .

(d) A aceleração angular do haltere em torno do centro de massa se relaciona com a aceleração do centro de massa por A C M = α l .

(e) A aceleração angular do haltere em torno do centro de massa se relaciona com a aceleração do centro de massa por α = 2 A C M l .

(f) A aceleração do centro de massa é nula.

(g) A aceleração angular em torno da posição do centro de massa do sistema é nula.

Passo 1

Temos duas forças F → 1 e F → 2 aplicadas nesse sistema.

As alternativas falam sobre o torque resultante τ em relação ao centro de massa, sobre a aceleração do centro de massa A C M e sobre a aceleração angular α .

Então vamos calcular cada um desses caras.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a aceleração do centro de massa A C M .

Podemos encontrar a aceleração do centro de massa simplesmente aplicando a segunda lei de Newton:

F R = m a

A massa do sistema será apenas a soma das massas das bolinhas, pois a haste tem massa desprezível:

F R = m + m A C M

Já a força resultante F → R será a soma dos vetores F → 1 e F → 2 .

Como F → 1 e F → 2 são perpendiculares, o módulo da força resultante será:

F R 2 = F 1 2 + F 2 2

Ambas as forças têm módulo F :

F R 2 = F 2 + F 2

F R = 2 F 2

F R = 2 F

Assim, temos que a aceleração do centro de massa é:

F R = 2 m A C M

A C M = 2 F 2 m

Passo 3

Agora vamos achar torque τ com relação ao centro de massa.

Para isso, primeiro vamos achar a posição do centro de massa.

Como as duas partículas têm a mesma massa, o centro de massa C M estará exatamente no meio delas, ou seja, na metade da haste:

Passo 4

Agora, vamos ao torque...

Uma vez que tivermos o torque resultante, podemos encontrar a aceleração angula α , a partir de:

τ = I α

O torque resultante τ desse sistema é a soma dos torques gerados por cada uma das forças:

τ → = τ → F 1 + τ → F 2

O torque da força F → 2 é dado pelo produto vetorial:

τ → F 2 = r → 2 × F → 2

Sendo o vetor r → 2 , a distância do centro de massa ao ponto de aplicação da força:

O módulo de τ F 2 será dado pelo produto dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles:

τ F 2 = r 2 F 2 s e n θ

Como o ângulo entre eles é 90 ° (vetores perpendiculares), temos:

τ F 2 = r 2 F 2 s e n 90 °

τ F 2 = r 2 F 2 1

A distância r 2 será metade do comprimento da haste:

τ F 2 = l 2 F

τ F 2 = F l 2

Vamos ao torque de F 1 :

τ → F 1 = r → 1 × F → 1

O módulo do torque será:

τ F 1 = r 1 F 1 s e n θ

Nesse caso, os vetores estão na mesma direção θ = 0 ° :

τ F 1 = r 1 F 1 s e n 0

τ F 1 = r 1 F 1 0

τ F 1 = 0

Logo, a força F 1 não gera torque.

Assim, o torque resultante será:

τ = τ F 1 + τ F 2

τ = 0 + F l 2

τ = F l 2

Passo 5

Agora que temos o torque resultante, podemos calcular a aceleração angular α com:

τ = I α

Quem é o momento de inércia do sistema?

Como a haste tem massa desprezível, as partículas são as únicas que entram no cálculo de momento de inércia:

I = I p 1 + I p 2

O momento de inércia de uma partícula é dado pela sua massa vezes sua distância ao eixo de rotação ao quadrado:

I p = m d 2

Assim, como as duas partículas têm a mesma massa e a mesma distância ao centro de massa, temos:

I = m l 2 2 + m l 2 2

I = 2 m l 2 4

I = m l 2 2

Assim, voltanto à nossa expressão de torque, temos:

τ = I α

F l 2 = m l 2 2 α

α = F m l

Passo 6

Vamos aos nossos resultados...

O torque resultante é:

τ = F l 2

Enquanto a relação entre A C M e α podemos construir simplesmente dividindo um pelo outro:

A C M α = 2 F 2 m F m l

A C M α = 2 l 2

A C M = 2 l 2 α

Assim, vemos que apenas a alternativa (a) está correta.

Resposta

Letra (a)

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